2005-重庆卷理-08 单-二项式定理

本题导读

本题主要考查二项式定理的通项公式。需要通过对通项公式中自变量的指数合并，建立关于项的幂次方程，分别锁定目标项的组合序号，再利用系数之比列出方程求解 $n$。

📌【题干】

Question

（2005年重庆卷(理)） 8. 若 ${\left(2x-\frac{1}{x}\right)}^n$ 展开式中含 $\frac{1}{x^2}$ 项的系数与含 $\frac{1}{x^4}$ 项的系数之比为 $-5$，则 $n$ 等于 ()

A. 4　　　　　　　B. 6　　　　　　　C. 8　　　　　　　D. 10

🔍【思路分析】

破题导航

1. 写出二项展开式的通项公式：将 ${\left(2x-\frac{1}{x}\right)}^n$ 写成 ${\left(2x+(-x^{-1})\right)}^n$，列出第 $r+1$ 项的通项公式 $T_{r+1}$。
2. 合并自变量 $x$ 的指数项：分离出常数、负号和组合数，将 $x$ 的指数项合并为统一的关于 $n$ 和 $r$ 的代数式。
3. 分别对应目标项求出相应的 $r$：

• 令 $x$ 的指数等于 $-2$（即 $\frac{1}{x^2}$ 项），求出对应的 $r_1$；
• 令 $x$ 的指数等于 $-4$（即 $\frac{1}{x^4}$ 项），求出对应的 $r_2$。

4. 列出系数比例方程求解 $n$：写出这两项的系数表达，建立比例方程，结合 $n$ 为正整数的约束解出 $n$ 的值。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

解：

• 第一步：建立展开式的通项公式 根据二项式定理，二项式 ${\left(2x-\frac{1}{x}\right)}^n$ 展开式的通项公式为： $T_{r+1}={\mathrm{C}}_n^r\cdot (2x{)}^{n-r}\cdot {\left(-\frac{1}{x}\right)}^r(0⩽r⩽n,r\in \mathbf{N})$ 将数字系数与自变量 $x$ 的指数分离开： $T_{r+1}={\mathrm{C}}_n^r\cdot 2^{n-r}\cdot x^{n-r}\cdot (-1{)}^r\cdot x^{-r}$ 合并同底数 $x$ 的指数部分，得到最简通项： $T_{r+1}=(-1{)}^r\cdot 2^{n-r}\cdot {\mathrm{C}}_n^r\cdot x^{n-2r}$

• 第二步：确定目标项对应的 $r$ 值与系数表达 该项的系数为除 $x$ 的幂次外前面的所有常数部分，即 $C=(-1{)}^r\cdot 2^{n-r}\cdot {\mathrm{C}}_n^r$。

1. 对于含 $\frac{1}{x^2}$（即 $x^{-2}$）的项： 令 $n-2r=-2⟹2r=n+2⟹r_1=\frac{n+2}{2}$ 该项的系数为： $C_1=(-1{)}^{\frac{n+2}{2}}\cdot 2^{n-\frac{n+2}{2}}\cdot {\mathrm{C}}_n^{\frac{n+2}{2}}=(-1{)}^{\frac{n+2}{2}}\cdot 2^{\frac{n-2}{2}}\cdot {\mathrm{C}}_n^{\frac{n+2}{2}}$

2. 对于含 $\frac{1}{x^4}$（即 $x^{-4}$）的项： 令 $n-2r=-4⟹2r=n+4⟹r_2=\frac{n+4}{2}$ 该项的系数为： $C_2=(-1{)}^{\frac{n+4}{2}}\cdot 2^{n-\frac{n+4}{2}}\cdot {\mathrm{C}}_n^{\frac{n+4}{2}}=(-1{)}^{\frac{n+4}{2}}\cdot 2^{\frac{n-4}{2}}\cdot {\mathrm{C}}_n^{\frac{n+4}{2}}$

• 第三步：利用系数之比列方程求解 $n$ 根据题意，两系数之比为 $-5$，即 $\frac{C_1}{C_2}=-5$： $\frac{(-1{)}^{\frac{n+2}{2}}\cdot 2^{\frac{n-2}{2}}\cdot {\mathrm{C}}_n^{\frac{n+2}{2}}}{(-1{)}^{\frac{n+4}{2}}\cdot 2^{\frac{n-4}{2}}\cdot {\mathrm{C}}_n^{\frac{n+4}{2}}}=-5$

分别简化各部分的比例：

1. 符号项： $\frac{(-1{)}^{\frac{n+2}{2}}}{(-1{)}^{\frac{n+4}{2}}}=(-1{)}^{\frac{n+2}{2}-\frac{n+4}{2}}=(-1{)}^{-1}=-1$
2. 2的幂次项： $\frac{2^{\frac{n-2}{2}}}{2^{\frac{n-4}{2}}}=2^{\frac{n-2}{2}-\frac{n-4}{2}}=2^1=2$
3. 组合数项：利用组合数性质 ${\mathrm{C}}_n^m={\mathrm{C}}_n^{n-m}$ 可得： ${\mathrm{C}}_n^{\frac{n+2}{2}}={\mathrm{C}}_n^{n-\frac{n+2}{2}}={\mathrm{C}}_n^{\frac{n-2}{2}}$ ${\mathrm{C}}_n^{\frac{n+4}{2}}={\mathrm{C}}_n^{n-\frac{n+4}{2}}={\mathrm{C}}_n^{\frac{n-4}{2}}$

代回比例式，消去负号： $-1\times 2\times \frac{{\mathrm{C}}_n^{\frac{n-2}{2}}}{{\mathrm{C}}_n^{\frac{n-4}{2}}}=-5⟹2\times \frac{{\mathrm{C}}_n^{\frac{n-2}{2}}}{{\mathrm{C}}_n^{\frac{n-4}{2}}}=5$

展开组合数： $\frac{{\mathrm{C}}_n^{\frac{n-2}{2}}}{{\mathrm{C}}_n^{\frac{n-4}{2}}}=\frac{\frac{n!}{(\frac{n-2}{2})!(\frac{n+2}{2})!}}{\frac{n!}{(\frac{n-4}{2})!(\frac{n+4}{2})!}}=\frac{(\frac{n-4}{2})!\cdot (\frac{n+4}{2})!}{(\frac{n-2}{2})!\cdot (\frac{n+2}{2})!}$ $\frac{{\mathrm{C}}_n^{\frac{n-2}{2}}}{{\mathrm{C}}_n^{\frac{n-4}{2}}}=\frac{\frac{n+4}{2}}{\frac{n-2}{2}}=\frac{n+4}{n-2}$

代入方程： $2\times \frac{n+4}{n-2}=5⟹2(n+4)=5(n-2)$ $2n+8=5n-10⟹3n=18⟹n=6$

综合上述， (B) 选项符合题意。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项式展开式通项中指数项合并、组合数阶乘展开形式的消元化简。
2. 核心方法：通项分析法、指数方程联立法。
3. 避坑指南：

• 切勿将“项的系数”与“二项式系数”混淆。第 $r+1$ 项的二项式系数仅指 ${\mathrm{C}}_n^r$（恒为正），而该项的系数包含前面的数字项 $2^{n-r}$ 和符号项 $(-1{)}^r$。如果漏掉系数中的 2 和 $(-1{)}^r$，会导致计算彻底出错。
• 巧用选择题选项代入可实现快速破题。由于题目给出的四个选项全为偶数，直接代入 $n=6$，分别计算 $x^{-2}$ 对应 $r=4$，系数为 ${\mathrm{C}}_6^4\cdot 2^2\cdot (-1{)}^4=15\times 4=60$； $x^{-4}$ 对应 $r=5$，系数为 ${\mathrm{C}}_6^5\cdot 2^1\cdot (-1{)}^5=6\times 2\times (-1)=-12$。两系数之比 $\frac{60}{-12}=-5$，完全符合，可在几十秒内直接锁定 B 选项。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自 2005 年重庆高考理科数学第 8 题，考查二项式定理的综合代数推导与符号细节处理能力。
2. 结论推广：对于形如 ${\left(A{x}^a+B{x}^b\right)}^n$ 的二项式展开式，某特定幂次项的系数与二项式系数之间满足链式几何级数关系。当含有两项的幂次之差固定为 $2$ 且自变量结构对称时，其系数之比最终一定能退化缩减为关于 $n$ 的一次分式方程。

🔗【关联脉络】

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• 22.03 二项式定理全总结

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