2005-重庆卷理-06 单-充分必要条件的判定

本题导读

本题结合三角函数的性质考查常用逻辑用语中的充要条件判定，解题核心在于深入挖掘大前提“$\alpha ,\beta$ 均为锐角”对角范围的限制，并通过逻辑蕴含关系的双向检验来确定结论。

📌【题干】

Question

（2005年重庆卷(理)） 6. 已知 $\alpha ,\beta$ 均为锐角，若 $p:\sin \alpha <\sin (\alpha +\beta )$， $q:\alpha +\beta <\frac{\pi }{2}$，则 $p$ 是 $q$ 的 ()

A. 充分而不必要条件　　　　　　　　　B. 必要而不充分条件

C. 充要条件　　　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定大前提与条件范围：

• $\alpha ,\beta$ 为锐角 $⟹\alpha \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$, $\beta \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$。
• 复合角的范围： $\alpha +\beta \in (0,\pi )$。

2. 检验充分性 ($p⟹q$)：分析当 $\sin \alpha <\sin (\alpha +\beta )$ 成立时， $\alpha +\beta$ 是否必然小于 $\frac{\pi }{2}$。可尝试寻找反例，令 $\alpha +\beta >\frac{\pi }{2}$ 且使不等式仍然成立。
3. 检验必要性 ($q⟹p$)：当 $\alpha +\beta <\frac{\pi }{2}$ 时，根据正弦函数 $y=\sin x$ 在 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right]$ 上的单调递增性，结合 $\alpha <\alpha +\beta$ 比较两者的正弦值大小，判断 $p$ 是否必然成立。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

解： 由题意，大前提是 $\alpha ,\beta$ 均为锐角，即 $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$, $0<\beta <\frac{\pi }{2}$。 由此可得 $\alpha +\beta$ 的取值范围为： $0<\alpha +\beta <\pi$。

• 第一步：检验充分性（判断 $p⟹q$ 是否成立） 假设 $p$ 成立，即 $\sin \alpha <\sin (\alpha +\beta )$。 由于 $\alpha +\beta \in (0,\pi )$，我们可以利用特值法进行检验。 设 $\alpha =30^{\circ }\in (0^{\circ },90^{\circ })$， $\beta =70^{\circ }\in (0^{\circ },90^{\circ })$。 此时 $\alpha +\beta =100^{\circ }$。 由于 $\sin (\alpha +\beta )=\sin 100^{\circ }=\sin 80^{\circ }$，而 $\sin \alpha =\sin 30^{\circ }$。 在第一象限锐角范围内，正弦函数单调递增，显然有 $\sin 30^{\circ }<\sin 80^{\circ }⟹\sin \alpha <\sin (\alpha +\beta )$，即命题 $p$ 成立。 然而，此时 $\alpha +\beta =100^{\circ }>90^{\circ }$（即 $\alpha +\beta >\frac{\pi }{2}$ ），导致命题 $q$ 不成立。 由此找到了一个反例，说明由 $p$ 无法推导出 $q$，充分性不成立。

• 第二步：检验必要性（判断 $q⟹p$ 是否成立） 假设 $q$ 成立，即 $0<\alpha +\beta <\frac{\pi }{2}$。 因为 $\beta >0$，所以明显有： $0<\alpha <\alpha +\beta <\frac{\pi }{2}$ 由于正弦函数 $y=\sin x$ 在区间 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right]$ 上是严格单调递增的，自变量越大，正弦值越大： $\sin \alpha <\sin (\alpha +\beta )$ 这说明命题 $p$ 必然成立。 即由 $q$ 可以推导出 $p$，必要性成立。

综上所述， $p$ 是 $q$ 的必要而不充分条件。

综合上述， (B) 选项符合题意。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：充分、必要条件的双向蕴含判定，正弦函数在 $(0,\pi )$ 上的图象波动性质。
2. 核心方法：特值反例法（破充分性）、单调性区间分析法（立必要性）。
3. 避坑指南：

• 切勿将正弦函数的单调增区间盲目扩大到 $(0,\pi )$。很多同学看到 $\sin \alpha <\sin (\alpha +\beta )$ 就误认为必然有 $\alpha <\alpha +\beta$，从而得出充分性成立的错解。务必注意 $\sin x=\sin (\pi -x)$ 这一对诱导公式所带来的对称性多值现象。
• 巧用特值法能快速排除错误选项。在面对逻辑判定题时，寻找一个满足已知却破坏结论的特值，是考场上推翻充分性最省时省力的策略。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自 2005 年重庆高考理科数学第 6 题，考查了高中三角学中关于正弦函数在钝角和锐角区间内性质差异的深度理解。
2. 结论推广：在 $\alpha ,\beta \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 的大前提下，不等式 $\sin \alpha <\sin (\alpha +\beta )$ 成立的充要条件可以等价转化为： $\alpha +(\alpha +\beta )<\pi ⟹2\alpha +\beta <\pi$。 显然，由 $2\alpha +\beta <\pi$ 推不出 $\alpha +\beta <\frac{\pi }{2}$（如上述反例）；但由 $\alpha +\beta <\frac{\pi }{2}$ 可以推出 $2\alpha +\beta <\alpha +\frac{\pi }{2}<\pi$。这从代数角度进一步确证了必要而不充分的关系。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语
• 07.03 三角函数的图象与性质

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