2005-重庆卷理-04 单-线段的中点坐标公式

本题导读

本题考查中点坐标的代数确定、向量方向性的坐标计算，以及向量夹角公式。

📌【题干】

Question

（2005年重庆卷(理)） 4. 已知 $A(3,1)$， $B(6,1)$， $C(4,3)$， $D$ 为线段 $BC$ 的中点，则向量 $\overrightarrow{AC}$ 与 $\overrightarrow{DA}$ 的夹角为 ()

A. $\frac{\pi }{2}-\arccos \frac{4}{5}$　　　　　B. $\arccos \frac{4}{5}$　　　　　C. $\arccos \left(-\frac{4}{5}\right)$　　　　　D. $-\arccos \left(-\frac{4}{5}\right)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求点 $D$ 的坐标：利用线段中点坐标公式，根据 $B,C$ 两点的坐标算出中点 $D$ 的坐标。
2. 计算向量的坐标：利用向量终点坐标减起点坐标的原则，分别求出 $\overrightarrow{AC}$ 和 $\overrightarrow{DA}$ 的坐标表示。
3. 计算夹角余弦值：代入平面向量夹角公式 $\cos \theta =\frac{\vec{\alpha }\cdot \vec{\beta }}{|\vec{\alpha }|\cdot |\vec{\beta }|}$ 算出余弦值，最后用反三角函数 $\arccos$ 形式表示出夹角 $\theta$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

解：

• 第一步：计算中点 $D$ 的坐标 已知 $B(6,1)$， $C(4,3)$，且 $D$ 为线段 $BC$ 的中点。 根据中点坐标公式： $x_D=\frac{6+4}{2}=5,y_D=\frac{1+3}{2}=2$ 即 $D(5,2)$。

• 第二步：计算向量 $\overrightarrow{AC}$ 与 $\overrightarrow{DA}$ 的坐标 已知 $A(3,1)$， $C(4,3)$， $D(5,2)$。 $\overrightarrow{AC}=(4-3,3-1)=(1,2)$ $\overrightarrow{DA}=(3-5,1-2)=(-2,-1)$

• 第三步：求两向量的夹角 设向量 $\overrightarrow{AC}$ 与 $\overrightarrow{DA}$ 的夹角为 $\theta$，其中 $\theta \in [0,\pi ]$。 计算两向量的数量积（点积）： $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{DA}=1\times (-2)+2\times (-1)=-2-2=-4$

分别计算两向量的模长： $|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$ $|\overrightarrow{DA}|=\sqrt{(-2{)}^2+(-1{)}^2}=\sqrt{5}$

代入向量夹角公式： $\cos \theta =\frac{\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{DA}}{|\overrightarrow{AC}|\cdot |\overrightarrow{DA}|}=\frac{-4}{\sqrt{5}\times \sqrt{5}}=-\frac{4}{5}$

由于 $\theta \in [0,\pi ]$，用反三角函数表示为： $\theta =\arccos \left(-\frac{4}{5}\right)$

综合上述， (C) 选项符合题意。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：中点坐标的代数确定、向量方向性的坐标计算、向量夹角公式。 核心方法：全坐标分量运算法。

避坑指南：

• 切勿在求 $\overrightarrow{DA}$ 时弄反起点与终点。向量 $\overrightarrow{DA}$ 是由 $D$ 指向 $A$，应用 $A$ 点坐标减去 $D$ 点坐标得到 $(-2,-1)$。如果错算成 $\overrightarrow{AD}=(2,1)$，会导致算出的余弦值为 $\frac{4}{5}$ 而误选 B。

📖【试题探源与推广】

Tip

变式练习：将向量条件改为模长或夹角已知，用数量积坐标运算反求参数，体会向量代数的通性通法。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.04 平面向量的坐标运算
• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)