2005-重庆卷理-02 单-复数的代数形式与四则运算

本题导读

本题考查复数的代数运算，以及虚数单位的高次幂化简。

📌【题干】

Question

（2005年重庆卷(理)） 2. ${\left(\frac{1+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}\right)}^{2005}=$ ()

A. $\mathrm{i}$　　　　　　B. $-\mathrm{i}$　　　　　　C. $2^{2005}$　　　　　　D. $-2^{2005}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 化简括号内的底数：首先对分式 $\frac{1+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}$ 进行分母实数化，分子分母同乘以 $1+\mathrm{i}$，计算得出最简结果。
2. 利用 $\mathrm{i}$ 的幂次周期性求解：已知虚数单位 $\mathrm{i}$ 的正整数幂以 4 为周期循环，将指数 2005 除以 4 求余数，即可快速得出最终结果。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

解：

• 第一步：化简底数部分 分子、分母同乘以分母 $1-\mathrm{i}$ 的共轭复数 $1+\mathrm{i}$： $\frac{1+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}=\frac{(1+\mathrm{i})(1+\mathrm{i})}{(1-\mathrm{i})(1+\mathrm{i})}=\frac{1+2\mathrm{i}+{\mathrm{i}}^2}{1^2-{\mathrm{i}}^2}$ 由于 ${\mathrm{i}}^2=-1$，代入化简： $\frac{1+2\mathrm{i}-1}{1-(-1)}=\frac{2\mathrm{i}}{2}=\mathrm{i}$

• 第二步：计算高次幂 原式可化为 ${\mathrm{i}}^{2005}$。 因为虚数单位 $\mathrm{i}$ 的幂次具有明显的周期性，且周期长度为 4（ ${\mathrm{i}}^1=\mathrm{i}$， ${\mathrm{i}}^2=-1$， ${\mathrm{i}}^3=-\mathrm{i}$， ${\mathrm{i}}^4=1$ ）。 将指数 2005 除以 4： $2005=4\times 501+1$ 所以： ${\mathrm{i}}^{2005}={\mathrm{i}}^{4\times 501+1}=({\mathrm{i}}^4{)}^{501}\times {\mathrm{i}}^1=1^{501}\times \mathrm{i}=\mathrm{i}$

综合上述， (A) 选项符合题意。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：经典复数常数 $\frac{1+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}=\mathrm{i}$ 的代数性质、虚数单位的高次幂化简。 核心方法：底数先行化简法、余数周期法。

避坑指南：

• 切勿先做二项式展开。部分同学试图对分子分母分别用二项式定理展开计算，会带来极大的运算量。牢记：高次幂运算中，如果底数是复杂的分式或代数式，必须优先将底数化到最简。
• 牢记两个高频复数公式： $\frac{1+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}=\mathrm{i},\frac{1-\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}=-\mathrm{i}$ 在考场上直接应用这两个结论可以省去分母实数化的运算步骤。

📖【试题探源与推广】

Tip

变式练习：将分母实数化后的结果进一步求其共轭复数、模或辐角，检验对复数四则运算与几何意义的掌握。

🔗【关联脉络】

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• 12.01 数系的扩充与复数

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