2005-辽宁卷-21 解-椭圆的定义与焦半径公式

本题导读

本题是一道集解析几何基本定义、轨迹方程求解以及焦点三角形数量关系于一体的综合压轴题。核心在于利用等腰三角形及中位线定理进行几何位置的巧妙化归，并利用中线定理与三角公式求解不变量。

📌【题干】

Question

（2005年辽宁卷） 已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>b>0$) 的左、右焦点分别是 $F_1(-c,0)$、$F_2(c,0)$，$Q$ 是椭圆外的动点，满足 $|\overrightarrow{F_{1}Q}|=2a$.点 $P$ 是线段 $F_{1}Q$ 与该椭圆的交点，点 $T$ 在线段 $F_{2}Q$ 上，并且满足 $\overrightarrow{PT}\cdot \overrightarrow{T{F}_2}=0$，且 $|\overrightarrow{T{F}_2}|\ne 0$.

(1) 设 $x$ 为点 $P$ 的横坐标，证明：$|\overrightarrow{F_{1}P}|=a+\frac{c}{a}x$；

(2) 求点 $T$ 的轨迹 $C$ 的方程；

(3) 试问：在点 $T$ 的轨迹 $C$ 上，是否存在点 $M$，使 $△F_{1}M{F}_2$ 的面积 $S=b^2$.若存在，求 $\angle F_{1}M{F}_2$ 的正切值；若不存在，请说明理由.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第(1)问：代入两点间距离公式，利用椭圆方程消去纵坐标 $y$，通过因式分解和代数开方完成证明（或直接使用第一定义下的焦半径公式）。
2. 第(2)问：由椭圆定义知 $|F_{1}P|+|F_{2}P|=2a$，结合 $|F_{1}Q|=2a$ 推出 $|PQ|=|F_{2}P|$。因 $PT\perp F_{2}Q$，由等腰三角形性质知 $T$ 为 $F_{2}Q$ 的中点，进而利用 $△F_1{F}_{2}Q$ 的中位线定理求得 $|OT|=a$，锁定圆的方程。
3. 第(3)问：利用面积公式 $S=c|y_M|=b^2$ 反解出 $|y_M|$，依据圆的边界范围 $|y_M|⩽a$ 对参数 $b^2$ 与 $ac$ 的大小关系进行分类讨论。若存在，借助中线定理与余弦定理、面积公式作比求出正切值。

✅【答案】

Success

当 $b^2>ac$ 时，不存在满足条件的点 $M$；当 $b^2⩽ac$ 时，存在满足条件的点 $M$，且 $\angle F_{1}M{F}_2$ 的正切值为 2

✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明： 设 $P(x,y)$，由 $P$ 在椭圆上，得 $y^2=b^2\left(1-\frac{x^2}{a^2}\right)=(a^2-c^2)\left(1-\frac{x^2}{a^2}\right)$。 根据两点间距离公式： $|\overrightarrow{F_{1}P}{|}^2=(x+c{)}^2+y^2=x^2+2cx+c^2+(a^2-c^2)\left(1-\frac{x^2}{a^2}\right)$ 展开化简得： $|\overrightarrow{F_{1}P}{|}^2=x^2+2cx+c^2+a^2-c^2-x^2+\frac{c^2}{a^2}{x}^2=a^2+2cx+\frac{c^2}{a^2}{x}^2={\left(a+\frac{c}{a}x\right)}^2$ 因为 $-a⩽x⩽a$ 且 $0<\frac{c}{a}<1$，所以 $a+\frac{c}{a}x>0$。 两边开方得：$|\overrightarrow{F_{1}P}|=a+\frac{c}{a}x$。

(2) 解： 因为点 $P$ 在椭圆上，由椭圆的定义有 $|\overrightarrow{F_{1}P}|+|\overrightarrow{F_{2}P}|=2a$。 又已知点 $P$ 在线段 $F_{1}Q$ 上，且 $|\overrightarrow{F_{1}Q}|=2a$，即 $|\overrightarrow{F_{1}P}|+|\overrightarrow{PQ}|=2a$。 从而可得：$|\overrightarrow{PQ}|=|\overrightarrow{F_{2}P}|$。 所以 $△P{F}_{2}Q$ 是以 $P$ 为顶点的等腰三角形。 因为 $\overrightarrow{PT}\cdot \overrightarrow{T{F}_2}=0$，所以 $PT\perp F_{2}Q$。 根据等腰三角形三线合一性质， $T$ 为线段 $F_{2}Q$ 的中点。 在 $△F_1{F}_{2}Q$ 中， $O$ 是 $F_1{F}_2$ 的中点， $T$ 是 $F_{2}Q$ 的中点， 所以 $OT$ 是 $△F_1{F}_{2}Q$ 的中位线， 则 $|\overrightarrow{OT}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{F_{1}Q}|=\frac{1}{2}\times 2a=a$。 这表明动点 $T$ 到原点的距离恒为定值 $a$。 由于 $Q$ 可以取遍整个圆周（除长轴端点延伸对应位置外），且满足条件限制， 故点 $T$ 的轨迹 $C$ 的方程为：$x^2+y^2=a^2$。

(3) 解： 假设轨迹 $C$ 上存在满足条件的点 $M(x_M,y_M)$。 $△F_{1}M{F}_2$ 的底边 $|F_1{F}_2|=2c$，高为 $|y_M|$。 其面积 $S=\frac{1}{2}\times 2c\times |y_M|=c|y_M|$。 由已知 $S=b^2$，得 $c|y_M|=b^2⟹|y_M|=\frac{b^2}{c}$。 因为点 $M$ 在圆 $x^2+y^2=a^2$ 上，其纵坐标必须满足 $|y_M|⩽a$。 所以 $\frac{b^2}{c}⩽a⟹b^2⩽ac$。

由此进行分类讨论： ① 当 $b^2>ac$ 时，不存在满足条件的点 $M$。 ② 当 $b^2⩽ac$ 时，存在满足条件的点 $M$。 设 $\angle F_{1}M{F}_2=\alpha$。在 $△F_{1}M{F}_2$ 中，$O$ 为 $F_1{F}_2$ 中点，且 $M$ 在圆上满足 $|OM|=a$。 根据三角形中线定理有： $|F_{1}M{|}^2+|F_{2}M{|}^2=2(|OM{|}^2+|O{F}_1{|}^2)=2(a^2+c^2)$ 由余弦定理有： $|F_1{F}_2{|}^2=|F_{1}M{|}^2+|F_{2}M{|}^2-2|F_{1}M||F_{2}M|\cos \alpha$ $(2c{)}^2=2(a^2+c^2)-2|F_{1}M||F_{2}M|\cos \alpha ⟹2|F_{1}M||F_{2}M|\cos \alpha =2a^2-2c^2=2b^2$ 从而得：$|F_{1}M||F_{2}M|\cos \alpha =b^2$。 又由面积公式有： $S=\frac{1}{2}|F_{1}M||F_{2}M|\sin \alpha =b^2⟹|F_{1}M||F_{2}M|\sin \alpha =2b^2$ 两式相除得： $\tan \alpha =\frac{2b^2}{b^2}=2$

综上所述： 当 $b^2>ac$ 时，不存在满足条件的点 $M$； 当 $b^2⩽ac$ 时，存在满足条件的点 $M$，且 $\angle F_{1}M{F}_2$ 的正切值为 2。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：焦半径的代数推导；几何性质（等腰、中位线）在化简圆锥曲线复杂动点关系中的决定性作用；焦点三角形面积与余弦定理的经典联立。
2. 核心方法：利用中线定理 $|F_{1}M{|}^2+|F_{2}M{|}^2=2(a^2+c^2)$ 直接避开具体的坐标计算，实现几何题目的代数不变量求解。
3. 避坑指南：第(3)问极易漏掉存在性的边界讨论。很多考生往往直接默认点存在并算出 $\tan \alpha =2$，而忽略了当圆的半径 $a$ 无法支撑起高为 $\frac{b^2}{c}$ 的三角形时，该点根本无法在圆周上构造出来，必须对 $b^2$ 与 $ac$ 进行严密的分类。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题是由圆的标准方程几何几何意义与椭圆第一定义组合创新的经典解析几何压轴题。第二问的几何消元（中位线法）是近年高考突破复杂轨迹问题的重要思维工具。
2. 结论推广：对于任意平面上的圆 $x^2+y^2=a^2$ 上的动点 $M$，以 $F_1(-c,0),F_2(c,0)$ 为焦点构建三角形。只要该三角形能够成功闭合，则其面积 $S$ 与顶角 $\alpha$ 之间恒满足如下一般性定值关系： $\frac{S}{\cos \alpha }=\frac{1}{2}|F_{1}M||F_{2}M|\cdot \tan \alpha$ 结合其余弦定理推导式，可得通用恒等式：$\tan \alpha =\frac{2S}{a^2-c^2}=\frac{2S}{b^2}$。由此可见，当 $S=b^2$ 时，$\tan \alpha \equiv 2$ 属于必然的几何不变性结果。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.08 一般曲线与方程
• 18.07 焦点三角形专题

类题演练 (Links)