2005-辽宁卷-20 解-相互独立事件的概率

本题导读

本题是一道概率统计与线性规划交汇的综合解答题。前两问通过独立事件的乘法公式考查期望的计算，第三问将期望值作为决策系数，考查一元线性规划最优解的确定。

📌【题干】

Question

（2005年辽宁卷） 20. 某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有 $A$、$B$ 两个等级.对每种产品，两道工序的加工结果都为 $A$ 级时，产品为一等品，其余均为二等品.

(1) 已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为 $A$ 级的概率如表一所示，分别求生产出的甲、乙产品为一等品的概率 $P_{\text{甲}}$、$P_{\text{乙}}$；

(2) 已知一件产品的利润如表二所示，用 $\xi ,\eta$ 分别表示一件甲、乙产品的利润，在 (1) 的条件下，求 $\xi ,\eta$ 的分布列及 $E\xi ,E\eta$；

(3) 已知生产一件产品需用的工人人数和资金额如表三所示.该工厂有工人 40 名，可用资金 60 万元.设 $x,y$ 分别表示生产甲、乙产品的数量，在 (2) 的条件下，$x、y$ 为何值时，$z=xE\xi +yE\eta$ 最大？最大值是多少？

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第(1)问：根据独立事件同时发生的概率乘法公式，分别计算两道工序均为 $A$ 级的概率。
2. 第(2)问：确定随机变量的可能取值，依据(1)中一等品及二等品的概率写出分布列，利用数学期望公式计算 $E\xi$ 与 $E\eta$。
3. 第(3)问：根据工人和资金的限制条件列出二元一次不等式组，以 $E\xi ,E\eta$ 为系数构建目标函数，利用图解法确定可行域的顶点，比较求得最大值。

✅【答案】

Success

(1) $P_{\text{甲}}=0.68$，$P_{\text{乙}}=0.60$；

(2) $\xi$ 的分布列为 $\begin{array}{ccc}\xi & 5& 2.5\\ P& 0.68& 0.32\end{array}$，$E\xi =4.2$（万元）；$\eta$ 的分布列为 $\begin{array}{ccc}\eta & 2.5& 1.5\\ P& 0.60& 0.40\end{array}$，$E\eta =2.1$（万元）；

(3) 当 $x=5,y=0$ 或 $x=4,y=2$ 时，$z$ 取得最大值 $21$ 万元。

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由题意，两道工序相互独立，当且仅当两道工序加工结果皆为 $A$ 级时产品为一等品。 $P_{\text{甲}}=0.8\times 0.85=0.68$ $P_{\text{乙}}=0.75\times 0.8=0.60$

(2) 由表二可知，$\xi$ 的可能取值为 5, 2.5。 $P(\xi =5)=P_{\text{甲}}=0.68$ $P(\xi =2.5)=1-0.68=0.32$ $\xi$ 的分布列为：

$\xi$	5	2.5
$P$	0.68	0.32

$E\xi =5\times 0.68+2.5\times 0.32=4.2\text{（万元）}$

$\eta$ 的可能取值为 2.5, 1.5。 $P(\eta =2.5)=P_{\text{乙}}=0.60$ $P(\eta =1.5)=1-0.60=0.40$ $\eta$ 的分布列为：

$\eta$	2.5	1.5
$P$	0.60	0.40

$E\eta =2.5\times 0.60+1.5\times 0.40=2.1\text{（万元）}$

(3) 由(2)可知，目标函数为 $z=4.2x+2.1y$。 根据表三及工厂资源限制，列出约束条件： $\{\begin{array}{l}8x+2y⩽40\\ 8x+10y⩽60\\ x⩾0,y⩾0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}4x+y⩽20\\ 4x+5y⩽30\\ x⩾0,y⩾0\end{array}$

① 若将 $x,y$ 视为连续变量（表示计划产量或平均数量）： 联立边界方程 $\{\begin{array}{l}4x+y=20\\ 4x+5y=30\end{array}$，解得可行域顶点的交点坐标为 $(4.375,2.5)$。 将交点代入目标函数，可得最大利润： $z_{\max }=4.2\times 4.375+2.1\times 2.5=23.625\text{（万元）}$

② 若限制 $x,y$ 必须为非负整数： 目标函数可变形为 $z=2.1(2x+y)$，即求 $2x+y$ 在满足整数约束下的最大值。 在可行域内进行网格点检验，当 $x=5,y=0$ 或 $x=4,y=2$ 时，$2x+y=10$ 达到最大值。 此时最大利润为： $z_{\max }=4.2\times 5+2.1\times 0=21\text{（万元）}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：离散型随机变量期望的实际背景转换，线性规划多约束条件下的最优解判定。
2. 核心方法：两步走战略：先利用概率模型剥离出确定的代数系数，再代入解析几何的可行域模型进行最值锁定。
3. 避坑指南：第(3)问中，由于未明确说明 $x,y$ 是否必须为整件，在连续变量下最优解在相交顶点处取得；若考虑实际离散情况则需进行邻近网格点平移检验。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于运筹学中经典的“产品组合与资源分配问题”，属于典型的跨章节（概率与不等式）横向融汇小压轴题。
2. 结论推广：对于双指标限制下的线性规划最大化问题 $\max \{Ax+By\}$ 满足 $\alpha x+\beta y⩽M$ 且 $\gamma x+\delta y⩽N$，当且仅当目标函数斜率 $-\frac{A}{B}$ 介于两约束边界斜率 $-\frac{\alpha }{\beta }$ 与 $-\frac{\gamma }{\delta }$ 之间时，最优解必在两条边界线的交点处取得。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 23.03 离散型随机变量及其数字特征
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)