2005-辽宁卷-18 解-三角函数的实际应用

本题导读

本题考查利用三角函数解决实际平面几何图形面积的最值问题。核心在于利用圆的对称性及直角三角形建立边长与角度的函数模型，并运用两角和与差的三角公式进行化简求最值。

📌【题干】

Question

（2005年辽宁卷） 如图，在直径为 1 的圆 $O$ 中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中 $y>x>0$.

(1) 将十字形的面积表示为 $\theta$ 的函数；

(2) $\theta$ 为何值时，十字形的面积最大？最大面积是多少？

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第(1)问：将十字形分解为一个中心正方形与四个矩形翼片（或看作大正方形挖去四个角），用 $x,y$ 表示出其面积公式。利用圆的对称性，在直角三角形中将 $x,y$ 用含 $\theta$ 的三角函数显式表示，代入面积公式并确定定义域。
2. 第(2)问：利用二倍角公式与辅助角公式将面积函数化为 $A\sin (2\theta -\phi )+B$ 的形式，结合 $\theta$ 的取值范围确定正弦函数取得最大值的条件，从而求出最大面积及对应的 $\theta$ 值。

✅【答案】

Success

当 $\theta =\arctan \frac{\sqrt{5}+1}{2}$ 时，十字形的面积最大，最大面积为 $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 解： 由图形的对称性可知，十字形可视为由一个边长为 $y$ 的正方形挖去四个角上边长为 $\frac{y-x}{2}$ 的小正方形所得。 因此十字形的面积 $S$ 为： $S=y^2-4\times {\left(\frac{y-x}{2}\right)}^2=y^2-(y-x{)}^2=2xy-x^2$ 以圆心 $O$ 为原点建立直角坐标系，考察右下角的顶点，其坐标为 $\left(\frac{x}{2},-\frac{y}{2}\right)$。 因为该顶点在直径为 1（即半径 $R=\frac{1}{2}$）的圆 $O$ 上，且由图可知 $\theta$ 为该点半径与水平轴的夹角， 所以在直角三角形中有： $\cos \theta =\frac{\frac{x}{2}}{\frac{1}{2}}=x$ $\sin \theta =\frac{\frac{y}{2}}{\frac{1}{2}}=y$ 将 $x=\cos \theta$，$y=\sin \theta$ 代入面积表达式得： $S(\theta )=2\sin \theta \cos \theta -{\cos }^2\theta$ 由已知 $y>x>0$，得 $\sin \theta >\cos \theta >0$，解得 $\theta$ 的取值范围为 $\left(\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}\right)$。 故十字形的面积关于 $\theta$ 的函数简记为： $S(\theta )=\sin 2\theta -\frac{1+\cos 2\theta }{2}=\sin 2\theta -\frac{1}{2}\cos 2\theta -\frac{1}{2}\left(\frac{\pi }{4}<\theta <\frac{\pi }{2}\right)$

(2) 解： 将面积函数利用辅助角公式变形： $S(\theta )=\frac{\sqrt{5}}{2}\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\sin 2\theta -\frac{1}{\sqrt{5}}\cos 2\theta \right)-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2}\sin (2\theta -\phi )-\frac{1}{2}$ 其中辅助角 $\phi$ 满足 $\tan \phi =\frac{1}{2}$，且 $\phi \in \left(0,\frac{\pi }{4}\right)$。 因为 $\frac{\pi }{4}<\theta <\frac{\pi }{2}$，所以 $\frac{\pi }{2}<2\theta <\pi$， 进而得：$\frac{\pi }{2}-\phi <2\theta -\phi <\pi -\phi$。 当 $2\theta -\phi =\frac{\pi }{2}$，即 $2\theta =\frac{\pi }{2}+\phi$ 时，$\sin (2\theta -\phi )$ 取得最大值 1。 此时： $\theta =\frac{\pi }{4}+\frac{1}{2}\phi$ 对应的最大面积为： $S_{\max }=\frac{\sqrt{5}}{2}\times 1-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ 关于此时的 $\theta$ 值，亦可通过正切值表示： 由 $2\theta =\frac{\pi }{2}+\phi$ 得 $\cos 2\theta =-\sin \phi =-\frac{1}{\sqrt{5}}$。 利用万能公式 $\cos 2\theta =\frac{1-{\tan }^2\theta }{1+{\tan }^2\theta }=-\frac{1}{\sqrt{5}}$，解得 $\tan \theta =\frac{\sqrt{5}+1}{2}$。 综上所述，当 $\theta =\arctan \frac{\sqrt{5}+1}{2}$ 时，十字形的面积最大，最大面积为 $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面图形面积的几何划分解构，圆的参数方程思想应用，三角最值的综合化简。
2. 核心方法：利用 $\cos 2\theta$ 与 $\sin 2\theta$ 进行降幂扩角，再利用辅助角公式统一函数名称。
3. 避坑指南：极易漏掉由 $y>x>0$ 约束带来的隐性定义域 $\theta \in \left(\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}\right)$。虽然本题最值点恰好落在该区间内，但在解答题中若缺少定义域的显式推导与验证会导致步骤扣分。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题是由经典的圆内接矩形面积最大值问题演变而来的组合几何最值建模题。
2. 结论推广：本题最优状态下的长宽比 $\tan \theta =\frac{\sqrt{5}+1}{2}\approx 1.618$ 恰为黄金分割比，此时的最大面积 $\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx 0.618$ 亦为黄金分割数的倒数。这表明圆内接对称正交多边形在达到结构最优时，往往蕴含着优美的黄金比例几何特性。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)