2005-辽宁卷-13 填-同角三角函数基本关系

本题导读

本题考查同角三角函数的基本关系及三角函数值的符号判断，意在测试基本公式的变形应用与代数运算能力。

📌【题干】

Question

（2005年辽宁卷） 设 $\sin \alpha +\cos \alpha =\frac{1}{5}$，$\alpha \in (0,\pi )$，则 $\tan \alpha$ 的值为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 对已知等式两边平方，利用 ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ 求出 $2\sin \alpha \cos \alpha$ 的值。
2. 根据 $\alpha$ 的取值范围与乘积的正负，判定 $\sin \alpha$ 与 $\cos \alpha$ 的符号，从而计算出 $\sin \alpha -\cos \alpha$ 的值。
3. 联立关于 $\sin \alpha$ 与 $\cos \alpha$ 的方程组解出各项值，最终求得 $\tan \alpha$。

✅【答案】

Success

$-\frac{4}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

因为 $\sin \alpha +\cos \alpha =\frac{1}{5}$， 两边平方得： $(\sin \alpha +\cos \alpha {)}^2=\frac{1}{25}$ $1+2\sin \alpha \cos \alpha =\frac{1}{25}⟹2\sin \alpha \cos \alpha =-\frac{24}{25}$ 因为 $\alpha \in (0,\pi )$ 且 $\sin \alpha \cos \alpha <0$， 所以 $\sin \alpha >0$，$\cos \alpha <0$，进而可知 $\sin \alpha -\cos \alpha >0$。 计算其平方值： $(\sin \alpha -\cos \alpha {)}^2=1-2\sin \alpha \cos \alpha =1-\left(-\frac{24}{25}\right)=\frac{49}{25}$ 开方得： $\sin \alpha -\cos \alpha =\frac{7}{5}$ 联立方程组： $\{\begin{array}{l}\sin \alpha +\cos \alpha =\frac{1}{5}\\ \sin \alpha -\cos \alpha =\frac{7}{5}\end{array}$ 两式相加得 $2\sin \alpha =\frac{8}{5}⟹\sin \alpha =\frac{4}{5}$； 两式相减得 $2\cos \alpha =-\frac{6}{5}⟹\cos \alpha =-\frac{3}{5}$。 因此： $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}}=-\frac{4}{3}$ 答案为：$-\frac{4}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：同角三角函数关系式 ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ 与商数关系 $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$。
2. 核心方法：利用 $(\sin \alpha \pm \cos \alpha {)}^2=1\pm 2\sin \alpha \cos \alpha$ 进行和积互化并构造方程组。
3. 避坑指南：在求解 $\sin \alpha -\cos \alpha$ 开方时，必须严格依据 $\alpha$ 的范围和三角函数符号判定正负，盲目去绝对值极易导致符号错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于教材中三角函数基本关系式的经典习题，是高考中对三角恒等变换基础运算能力的常规考查。
2. 结论推广：若已知 $\sin \alpha +\cos \alpha =k$ 且 $\alpha$ 所在象限已知，则有 $\sin \alpha \cos \alpha =\frac{k^2-1}{2}$。可直接构造关于 $\tan \alpha$ 的一元二次方程 $\frac{\tan \alpha }{1+{\tan }^2\alpha }=\frac{k^2-1}{2}$，从而快速求解 $\tan \alpha$ 的值。

🔗【关联脉络】

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• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

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