2005-辽宁卷-06 单-对数不等式的解法

本题导读

本题考查对数不等式的求解，意在测试对数函数底数分类讨论的思想以及不等式同解变形的能力。

📌【题干】

Question

（2005年辽宁卷） 若 ${\log }_{2a}\frac{1+a^2}{1+a}<0$，则 $a$ 的取值范围是()

A. $\left(\frac{1}{2},+\infty \right)$　　　　B. $(1,+\infty )$　　　　C. $\left(\frac{1}{2},1\right)$　　　　D. $\left(0,\frac{1}{2}\right)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 明确对数函数的底数限制条件，对底数 $2a$ 大于 1 和大于 0 小于 1 两种情况进行分类讨论。
2. 去掉对数符号转化为代数不等式组，结合自变量本身范围求解并取交集。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

由对数底数及真数的要求可知，$2a>0$ 且 $2a\ne 1$，即 $a>0$ 且 $a\ne \frac{1}{2}$。 当 $a>0$ 时，真数 $\frac{1+a^2}{1+a}>0$ 恒成立。 对原不等式进行分类讨论： ① 当 $0<2a<1$，即 $0<a<\frac{1}{2}$ 时，对数函数单调递减， 原不等式等价于 $\frac{1+a^2}{1+a}>1$， 因为 $1+a>0$，所以 $1+a^2>1+a$，即 $a^2-a>0$，解得 $a>1$ 或 $a<0$。 此时与 $0<a<\frac{1}{2}$ 无公共部分，此种情况无解。

② 当 $2a>1$，即 $a>\frac{1}{2}$ 时，对数函数单调递增， 原不等式等价于 $\frac{1+a^2}{1+a}<1$， 得 $1+a^2<1+a$，即 $a^2-a<0$，解得 $0<a<1$。 结合 $a>\frac{1}{2}$，得 $\frac{1}{2}<a<1$。

综上所述，$a$ 的取值范围是 $\left(\frac{1}{2},1\right)$。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：对数不等式 ${\log }_{f(x)}g(x)<0$ 的同解变形。
2. 核心方法：依据底数范围（大于 1 或在 0 到 1 之间）进行单调性分类讨论。
3. 避坑指南：极易忽略底数不能等于 1（即 $a\ne \frac{1}{2}$）的基本限制，或在 $0<2a<1$ 去对数符号时忘记改变不等号方向。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于教材中对数函数单调性应用的拓展，重点深化对字母参数作为底数时分类讨论思想的理解。
2. 结论推广：对于对数不等式 ${\log }_{A}B<0$（在有意义的前提下），可转化为更简便的穿针引线乘积式：$(A-1)(B-1)<0$。 利用此结论本题可直接化简为： $(2a-1)\left(\frac{1+a^2}{1+a}-1\right)<0⟹(2a-1)\frac{a(a-1)}{1+a}<0$ 因 $a>0$，上式等价于 $(2a-1)(a-1)<0$，直接解得 $\frac{1}{2}<a<1$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 06.01 幂指对函数图象与性质

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