2005-辽宁卷-03 单-古典概型

本题导读

本题考查古典概型的概率计算，通过经典的摸球模型测试对分步计数原理和组合数概念的理解与应用能力。

📌【题干】

Question

（2005年辽宁卷） 设袋中有 80 个红球，20 个白球，若从袋中任取 10 个球，则其中恰有 6 个红球的概率为()

A. $\frac{{\mathrm{C}}_{80}^4\cdot {\mathrm{C}}_{10}^6}{{\mathrm{C}}_{100}^{10}}$　　　　　　　　　　　　B. $\frac{{\mathrm{C}}_{80}^6\cdot {\mathrm{C}}_{10}^4}{{\mathrm{C}}_{100}^{10}}$

C. $\frac{{\mathrm{C}}_{80}^4\cdot {\mathrm{C}}_{20}^6}{{\mathrm{C}}_{100}^{10}}$　　　　　　　　　　　　D. $\frac{{\mathrm{C}}_{80}^6\cdot {\mathrm{C}}_{20}^4}{{\mathrm{C}}_{100}^{10}}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定基本事件总数：从总共 100 个球中任取 10 个球的组合数。
2. 确定目标事件数：恰有 6 个红球意味着同时必须有 4 个白球，利用分步乘法计数原理分别从红球、白球中抽取。
3. 利用古典概型公式作比即可。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

袋中共有红球和白球总数为 $80+20=100$ 个。 从 100 个球中任取 10 个球的基本事件总数为 ${\mathrm{C}}_{100}^{10}$。 设“取出的 10 个球中恰有 6 个红球”为事件 $A$，则取出的球中必有 $10-6=4$ 个白球。 从 80 个红球中任取 6 个的取法有 ${\mathrm{C}}_{80}^6$ 种； 从 20 个白球中任取 4 个的取法有 ${\mathrm{C}}_{20}^4$ 种。 根据分步乘法计数原理，事件 $A$ 包含的基本事件数为 ${\mathrm{C}}_{80}^6\cdot {\mathrm{C}}_{20}^4$。 因此，所求事件的概率为 $P(A)=\frac{{\mathrm{C}}_{80}^6\cdot {\mathrm{C}}_{20}^4}{{\mathrm{C}}_{100}^{10}}$。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：古典概型中事件数与总样本点数的组合表示。
2. 核心方法：利用分步乘法计数原理处理多类对象的共存抽取问题。
3. 避坑指南：极易漏掉抽到白球的组合数 ${\mathrm{C}}_{20}^4$，必须明确“恰有 6 个红球”等价于“6 个红球与 4 个白球同时被取出”。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于新课标教材中“不放回抽样”的概率背景，是典型的超几何分布模型的概率表达式呈现。
2. 结论推广：若总数为 $N$ 的集合中包含 $M$ 个 $A$ 类元素，从中任取 $n$ 个，则恰有 $k$ 个 $A$ 类元素的概率公式可推广为超几何分布律： $P(X=k)=\frac{{\mathrm{C}}_M^k\cdot {\mathrm{C}}_{N-M}^{n-k}}{{\mathrm{C}}_N^n}$

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型
• 22.01 计数原理、排列与组合

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