2005-辽宁卷-02 单-函数极限的存在性

本题导读

本题考查函数极限存在与函数在一点处连续之间的逻辑因果关系，意在测试对微积分初步中核心概念的理解与辨析能力。

📌【题干】

Question

（2005年辽宁卷） 极限 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)$ 存在是函数 $f(x)$ 在点 $x=x_0$ 处连续的()

A. 充分而不必要的条件　　　　　　　B. 必要而不充分的条件

C. 充要条件　　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要的条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析必要性：依据函数连续的定义，若函数在某点连续，则该点处的极限必存在且等于函数值。
2. 分析充分性：若极限存在，考虑是否存在极限值不等于函数值（或函数在该点无定义）的反例。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

根据函数 $f(x)$ 在点 $x=x_0$ 处连续的定义，必须同时满足以下三个条件： ① 函数 $f(x)$ 在点 $x=x_0$ 处有定义； ② 极限 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)$ 存在； ③ ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$。

由此进行逻辑判定： 充分性：若 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)$ 存在，函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处不一定有定义；即使有定义，极限值也不一定等于 $f(x_0)$（例如可去间断点）。因此，充分性不成立。 必要性：若函数 $f(x)$ 在点 $x=x_0$ 处连续，则必能推出极限 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)$ 存在。因此，必要性成立。

综上所述，极限 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)$ 存在是函数 $f(x)$ 在点 $x=x_0$ 处连续的必要而不充分条件。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数在一点处连续的充要条件是 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$。
2. 核心方法：利用微积分基本概念的充要关系进行逻辑推导。
3. 避坑指南：切勿将“极限存在”等同于“连续”，需注意可去间断点这一典型反例的存在，避免错选C。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于早年高考课改中微积分初步教材的基本概念辨析题，着重考查极限与连续的本质区别。
2. 结论推广：函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处连续的本质是 ${\lim }_{\Delta x\to 0}\Delta y=0$。若将此结论向导数推广：函数在一点处“可导”是“连续”的充分不必要条件。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.07 一般数列的性质
• 02.01 常用逻辑用语

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