2005-福建卷理-20 解-直二面角的概念与性质

本题导读

本题考查直二面角转化线面垂直、等腰直角三角形三维建系、点到平面的射影向量公式。核心在于直二面角转化与建系求角距离。

📌【题干】

Question

（2005年福建卷(理)） 20. 如图，直二面角 $D-AB-E$ 中，四边形 $ABCD$ 是边长为 2 的正方形， $AE=EB$， $F$ 为 $CE$ 上的点，且 $BF\perp \text{平面 }ACE$.

(1) 求证： $AE\perp \text{平面 }BCE$；

(2) 求二面角 $B-AC-E$ 的大小；

(3) 求点 $D$ 到平面 $ACE$ 的距离.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：

• $\because BF\perp \text{平面 }ACE,AE\subset \text{平面 }ACE⟹BF\perp AE$。
• $\because$ 二面角 $D-AB-E$ 是直二面角，且正方形中 $CB\perp AB⟹CB\perp \text{平面 }ABE⟹CB\perp AE$。
• 结合 $BF\cap CB=B$，利用线面垂直判定定理即证。

2. 第二问：

• 由 $AE\perp \text{平面 }BCE⟹AE\perp CE,AE\perp BE$，可知 $△ABE$ 是等腰直角三角形。
• 以 $B$ 为原点， $BC,BA$ 分别为 $x,y$ 轴。过 $B$ 作平面 $ABCD$ 的垂线（平行于 $ED$ ）为 $z$ 轴建立空间直角坐标系。
• 写出各点坐标，求出平面 $BAC$（即平面 $ABCD$ ）与平面 $ACE$ 的法向量，利用向量夹角公式求解。

3. 第三问：

• 利用点到平面的距离公式 $d=\frac{|\overrightarrow{MD}\cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}$ 求解，其中 $M$ 为平面 $ACE$ 内的任意已知点， $\vec{n}$ 为平面 $ACE$ 的法向量。

✅【答案】

Success

建立空间直角坐标系，取A=(0,0,0),B=(2,0,0),D=(0,2,0),

✍【详细解析】

Abstract

解：

• (1) 证明： $AE\perp \text{平面 }BCE$ $\because BF\perp \text{平面 }ACE$，且 $AE\subset \text{平面 }ACE$， $\therefore BF\perp AE$ $\in$ 二面角 $D-AB-E$ 为直二面角，且四边形 $ABCD$ 是正方形， $\therefore CB\perp AB$ $\therefore CB\perp \text{平面 }ABE$ $\because AE\subset \text{平面 }ABE$， $\therefore CB\perp AE$ $\because BF\cap CB=B$，且 $BF,CB\subset \text{平面 }BCE$， $\therefore AE\perp \text{平面 }BCE$

• (2) 求二面角 $B-AC-E$ 的大小 由 (1) 知 $AE\perp \text{平面 }BCE$，则 $AE\perp BE$。 $\because AE=EB$， $\therefore △ABE$ 是以 $E$ 为直角的等腰直角三角形。 $\because AB=2$， $\therefore AE=BE=\sqrt{2}$。

以 $B$ 为原点，射线 $BC$ 为 $x$ 轴正方向，射线 $BA$ 为 $y$ 轴正方向，过 $B$ 在平面 $ABE$ 内作 $BA$ 的垂线为 $z$ 轴正方向，建立空间直角坐标系 $B-xyz$。 在 Rt$△ABE$ 中， $E$ 在 $yOz$ 平面上的投影为 $AB$ 的中点 $(0,1,0)$，其高为 1。

各关键顶点坐标为： $B(0,0,0),C(2,0,0),A(0,2,0),D(2,2,0),E(0,1,1)$

1. 平面 $BAC$ 的法向量： 平面 $BAC$ 即为 $xOy$ 平面，其法向量可取为： ${\vec{n}}_1=(0,0,1)$

2. 平面 $ACE$ 的法向量： $\overrightarrow{AC}=(2,-2,0),\overrightarrow{AE}=(0,-1,1)$ 设平面 $ACE$ 的法向量为 ${\vec{n}}_2=(x,y,z)$： $\{\begin{array}{l}{\vec{n}}_2\cdot \overrightarrow{AC}=2x-2y=0\\ {\vec{n}}_2\cdot \overrightarrow{AE}=-y+z=0\end{array}⟹x=y=z$ 取 ${\vec{n}}_2=(1,1,1)$。

3. 计算二面角大小： 设二面角 $B-AC-E$ 的平面角为 $\theta$（由图知其为锐角）： $\cos \theta =\frac{|{\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2|}{|{\vec{n}}_1||{\vec{n}}_2|}=\frac{|0\times 1+0\times 1+1\times 1|}{1\times \sqrt{1^2+1^2+1^2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ 故二面角 $B-AC-E$ 的大小为 $\arccos \frac{\sqrt{3}}{3}$。

• (3) 求点 $D$ 到平面 $ACE$ 的距离 由 (2) 可知，平面 $ACE$ 经过点 $A(0,2,0)$，其法向量为 ${\vec{n}}_2=(1,1,1)$。 计算向量 $\overrightarrow{AD}$： $\overrightarrow{AD}=D-A=(2,2,0)-(0,2,0)=(2,0,0)$

则点 $D$ 到平面 $ACE$ 的距离 $d$ 为： $d=\frac{|\overrightarrow{AD}\cdot {\vec{n}}_2|}{|{\vec{n}}_2|}=\frac{|2\times 1+0\times 1+0\times 1|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：直二面角转化线面垂直、等腰直角三角形三维建系、点到平面的射影向量公式。
2. 避坑指南：

• 第二问确定点 $E$ 的坐标时需谨慎。由于 $△ABE$ 位于与底面垂直的侧面上，且 $\angle AEB=90^{\circ }$ 为直角，点 $E$ 在棱 $AB$ 上的投影刚好是 $AB$ 的中点。切勿将 $E$ 的纵坐标直接当成 0 或 2。

📖【试题探源与推广】

Tip

变式练习：将几何体的边长或位置关系改变，用几何法或建系法重新求解空间角、距离与体积。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题
• 21.03 空间向量求角

类题演练 (Links)