2005-福建卷理-15 填-等比级数求和通项化简

本题导读

本题考查等比级数求和通项化简，以及公比绝对值大于 1 时的收敛有界性判定。

📌【题干】

Question

（2005年福建卷(理)） 15. 若常数 $b$ 满足 $|b|>1$，则 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{1+b+b^2+\cdots +b^{n-1}}{b^n}=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分子进行等比数列求和：分子 $1+b+b^2+\cdots +b^{n-1}$ 是首项为 $1$，公比为 $b$ 的等比数列的前 $n$ 项和。由于已知 $|b|>1⟹b\ne 1$，可以直接应用等比数列求和公式 $S_n=\frac{1-b^n}{1-b}$ 进行化简。
2. 分式变形拆分：将分子求和后的代数式代回原极限式中，分子分母进行复合整理，将其拆分为含有 $b^n$ 项的离散单项式。
3. 利用极限定义求解：已知 $|b|>1⟹\left|\frac{1}{b}\right|<1$，当 $n\to \infty$ 时， ${\lim }_{n\to \infty }{\left(\frac{1}{b}\right)}^n=0$。利用该结论消去无穷小项，即可求出常数极限值。

✅【答案】

Success

$\frac{1}{b-1}$

✍【详细解析】

Abstract

解： 首先对分子中的等比多项式进行求和化简。 设 $S_n=1+b+b^2+\cdots +b^{n-1}$， $\because |b|>1⟹b\ne 1$， $\therefore$ 根据等比数列前 $n$ 项和公式得： $S_n=\frac{1\cdot (1-b^n)}{1-b}=\frac{b^n-1}{b-1}$

将 $S_n$ 代回原极限式中： ${\lim }_{n\to \infty }\frac{1+b+b^2+\cdots +b^{n-1}}{b^n}={\lim }_{n\to \infty }\frac{\frac{b^n-1}{b-1}}{b^n}={\lim }_{n\to \infty }\frac{b^n-1}{(b-1)b^n}$

分子分母同时除以 $b^n$ 进行变形： ${\lim }_{n\to \infty }\frac{1-\frac{1}{b^n}}{b-1}={\lim }_{n\to \infty }\frac{1-{\left(\frac{1}{b}\right)}^n}{b-1}$

$\because |b|>1⟹\left|\frac{1}{b}\right|<1$， $\therefore {\lim }_{n\to \infty }{\left(\frac{1}{b}\right)}^n=0$

代入极限运算法则中： ${\lim }_{n\to \infty }\frac{1-{\left(\frac{1}{b}\right)}^n}{b-1}=\frac{1-0}{b-1}=\frac{1}{b-1}$

答案为 $\frac{1}{b-1}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等比级数求和通项化简、公比绝对值大于 1 时的收敛有界性判定。
2. 避坑指南：

• 不要漏掉分母原有的系数 $(b-1)$。在将分子等比求和公式代入分式后，分子分母的项数容易混淆，务必保持“先整体带入，后拆分约分”的规范步骤，防止算错成 $\frac{1}{b}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

变式练习：改变展开式中的指数或求常数项、指定项系数，检验通项公式 $T_{r+1}$ 的代入与化简。

🔗【关联脉络】

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• 19.02 等比数列全总结

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