2005-福建卷理-14 填-简单的线性规划问题

本题导读

本题考查线性规划可行域边界线的确定，以及目标函数截距几何意义的转化。

📌【题干】

Question

（2005年福建卷(理)） 14. 非负实数 $x,y$ 满足 $\{\begin{array}{l}2x+y⩽0\\ x+y-3⩽0\end{array}$，则 $x+3y$ 的最大值为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

根据题目给出的印刷文本进行严谨讨论（注：本题图中的第一个不等式由于印刷习惯存在两种合理的解题可能，以下均给出严密解析）：

• 可能一（按原图符号真值）：由于 $x,y$ 为非负实数（即 $x⩾0,y⩾0$），不等式 $2x+y⩽0$ 迫使可行域收缩为孤立点 $(0,0)$。
• 可能二（按高考试卷原题修正，原题印刷应为减号 –）：即条件为 $2x-y⩽0$。画出可行域平面区域，利用直线平移法将目标函数 $z=x+3y$ 的几何意义转化为纵截距，通过寻找可行域的顶点求得最大值。

✅【答案】

Success

$0$

✍【详细解析】

Abstract

解：

• 解析一：若按图中所示的 $\{\begin{array}{l}2x+y⩽0\\ x+y-3⩽0\end{array}$ 计算： $\because x,y$ 为非负实数， $\therefore x⩾0,y⩾0$。 由此可得 $2x+y⩾0$。 结合第一个条件 $2x+y⩽0$，有且仅有唯一一组解满足条件： $\{\begin{array}{l}x=0\\ y=0\end{array}$ 代入第二式 $0+0-3⩽0$ 显然成立。 因此，可行域仅包含一个点 $(0,0)$。 此时目标函数 $z=x+3y$ 的最大值为： $z_{\text{max}}=0+3\times 0=0$

• 解析二：若按高考标准原题 $\{\begin{array}{l}2x-y⩽0\\ x+y-3⩽0\end{array}$ 计算（此为印刷错误修正版）： 由题意，非负实数满足的约束条件实际为： $\{\begin{array}{l}x⩾0\\ y⩾0\\ y⩾2x\\ y⩽3-x\end{array}$

画出对应的平面可行域，该区域为以 $(0,0)$、 $(0,3)$、 $(1,2)$ 为顶点的三角形闭区域。

设目标函数为 $z=x+3y$，将其化为斜截式直线方程形式： $y=-\frac{1}{3}x+\frac{z}{3}$

当此直线在平面区域内移动时，其纵截距 $\frac{z}{3}$ 越大， $z$ 值就越大。 观察图象可知，当直线经过可行域的顶点 $(0,3)$ 时，纵截距取得最大值： $z_{\text{max}}=0+3\times 3=9$ (注：若代入另一个交点 $(1,2)$， $z=1+3\times 2=7<9$)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线性规划可行域边界线的确定、目标函数截距几何意义的转化。
2. 避坑指南：

• 若按常规修正版（解析二）作答，最终答案为 9。
• 若严格遵循试卷错字印刷版（解析一）作答，最终答案为 0。建议在平时的模考或正式考试中，若发现此类因非负条件导致可行域退化的极端特殊情况，应优先考虑印刷符号有误，并举一反三完成分类确认。

📖【试题探源与推广】

Tip

变式练习：改变系数或条件，用均值、柯西或绝对值不等式求最值，注意等号成立条件的验证。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 03.06 简单的线性规划

类题演练 (Links)