2005-福建卷理-11 单-柯西不等式

本题导读

本题考查一阶齐次最值问题、柯西不等式的配凑技巧，以及二次曲线的三角函数代换。

📌【题干】

Question

（2005年福建卷(理)） 11. 设 $a,b\in \mathbf{R},a^2+2b^2=6$，则 $a+b$ 的最小值是 ()

A. $-2\sqrt{2}$　　　　　　B. $-\frac{5\sqrt{3}}{3}$　　　　　　C. $-3$　　　　　　D. $-\frac{7}{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 方法一（柯西不等式）：将目标代数式 $a+b$ 进行结构拆分，凑出与已知条件 $a^2+2b^2$ 对应的形式，即 $a+b=1\cdot a+\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot (\sqrt{2}b)$。直接套用二维柯西不等式 $(x_1^2+x_2^2)(y_1^2+y_2^2)⩾(x_1{y}_1+x_2{y}_2{)}^2$ 求解。
2. 方法二（三角代换法）：由已知 $a^2+2b^2=6⟹{\left(\frac{a}{\sqrt{6}}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{2}b}{\sqrt{6}}\right)}^2=1$，利用椭圆的参数方程进行三角代换，设 $a=\sqrt{6}\cos \theta ,b=\sqrt{3}\sin \theta$，再利用两角和的辅助角公式求出最值。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

解：

• 方法一：柯西不等式法 将目标式 $a+b$ 变形为： $a+b=1\cdot a+\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot (\sqrt{2}b)$

由柯西不等式可得： $\left[1^2+{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}^2\right]\cdot \left[a^2+(\sqrt{2}b{)}^2\right]⩾{\left[1\cdot a+\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot (\sqrt{2}b)\right]}^2$

将已知数据 $a^2+2b^2=6$ 代入左侧： $\left(1+\frac{1}{2}\right)\cdot 6⩾(a+b{)}^2$ $\frac{3}{2}\times 6⩾(a+b{)}^2⟹(a+b{)}^2⩽9$

解该二次不等式得： $-3⩽a+b⩽3$

当且仅当 $\frac{a}{1}=\frac{\sqrt{2}b}{\frac{1}{\sqrt{2}}}⟹a=2b$，结合 $a^2+2b^2=6$ 解得 $a=-2,b=-1$ 时， $a+b$ 取得最小值 $-3$。 故 (C) 选项正确。

• 方法二：三角代换法 将已知等式变形为 $\frac{a^2}{6}+\frac{b^2}{3}=1$。 设 $\{\begin{array}{l}a=\sqrt{6}\cos \theta \\ b=\sqrt{3}\sin \theta \end{array}$ （其中 $\theta \in [0,2\pi )$）。

将其代入目标式 $a+b$ 中，并利用辅助角公式化简： $a+b=\sqrt{3}\sin \theta +\sqrt{6}\cos \theta =\sqrt{(\sqrt{3}{)}^2+(\sqrt{6}{)}^2}\sin (\theta +\phi )=\sqrt{3+6}\sin (\theta +\phi )=3\sin (\theta +\phi )$

$\because \sin (\theta +\phi )\in [-1,1]$， $\therefore a+b$ 的最小值为 $-3$（此时 $\sin (\theta +\phi )=-1$）。 故 (C) 选项正确。

综合上述， (C) 选项符合题意。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：一阶齐次最值问题、柯西不等式的配凑技巧、二次曲线的三角函数代换。
2. 避坑指南：

• 使用柯西不等式时，注意根号项与系数的配凑。若直接用 $(1^2+1^2)(a^2+2b^2)$，右侧会产生 $(a+\sqrt{2}b{)}^2$ 从而无法对应目标式 $a+b$。必须把 $b$ 项看成 $\sqrt{2}b$，则对应的系数项变为 $\frac{1}{\sqrt{2}}$，才能保证乘积刚好将根号抵消。

📖【试题探源与推广】

Tip

变式练习：将角或系数推广，用辅助角公式与诱导公式化简后求周期、值域与最值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.03 柯西不等式
• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)