本题导读
本题考查双曲线的第一定义，以及余弦定理求几何线段长。
📌【题干】
Question
（2005年福建卷(理)） 10. 已知 、 是双曲线 () 的两焦点，以线段 为边作正三角形 ，若边 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是 ()
A. B. C. D.
🔍【思路分析】
破题导航
- 利用几何性质确定线段长度：以焦距 为边作正三角形 ，则有 ， 且 。
- 确定中点到两焦点的距离：设 的中点为 ，由于 在双曲线的右支上（因为离心率 ，经检验 在右支上，即满足 ），由中点定义知 。在 中，已知 ，利用余弦定理可计算出 的长度。
- 结合定义求离心率：根据双曲线的定义，有 ，将由 表示的 和 代入，即可建立关于 和 的齐次式，进而求得离心率 。
✅【答案】
Success
D
✍【详细解析】
Abstract
解： 由题意， 为正三角形，焦点距离 。 则有：
设 的中点为 ，且点 在双曲线的右支上。 根据中点定义：
在 中，由余弦定理可得： 将 代入上式： 解得：
根据双曲线的定义，由于点 在双曲线上，满足： 将 和 代入定义式中：
则双曲线的离心率 为：
分母有理化变形：
故 (D) 选项正确。
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：双曲线的第一定义（ ）、余弦定理求几何线段长。
- 避坑指南：
- 切勿混淆椭圆与双曲线的定义。本题是双曲线，对应两焦半径之差等于 。如果习惯性套用椭圆定义列成 ，会算错成 从而误选 B（注意双曲线离心率 ， 明显不符）。
📖【试题探源与推广】
Tip
变式练习：将双曲线的焦点、渐近线或离心率条件互换，验证待定系数法与定义法求标准方程的等价性。
🔗【关联脉络】
Multi column