2005-福建卷理-09 单-排列组合的实际应用

本题导读

本题主要考查含有约束条件的排列组合应用题。题目要求将 6 人中的 4 人分配到 4 个不同的城市，且甲、乙两人有特定的位置限制（不去巴黎）。解决此类问题通常采用特殊位置（或特殊元素）优先安排的方法，或使用总排列数减去不合题意情况的间接法。

📌【题干】

Question

（2005年福建卷(理)） 9. 从 6 人中选 4 人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这 6 人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有 ()

A. 300 种　　　　B. 240 种　　　　C. 144 种　　　　D. 96 种

🔍【思路分析】

破题导航

1. 方法一（特殊位置优先法）：

• 限制条件在于“巴黎”这个城市不能由甲、乙游览。
• 第一步：优先安排去巴黎的人。因为甲、乙不能去，只能从剩下的 $6-2=4$ 人中任选 1 人去巴黎，有 ${\mathrm{C}}_4^1$ 种选法。
• 第二步：安排剩下的三个城市（伦敦、悉尼、莫斯科）。此时还剩下 5 人（包括没被选中的甲、乙），从中任选 3 人全排列分配到这三个城市，方案数为 ${\mathrm{A}}_5^3$。
• 根据分步乘法计数原理，两步方案数相乘即可。

2. 方法二（间接排除法）：

• 总方案数：不考虑限制条件，从 6 人中选 4 人分别去 4 个城市的总排列数为 ${\mathrm{A}}_6^4$。
• 不合题意数：减去甲去巴黎或乙去巴黎的情况。
  • 甲去巴黎：甲固定，剩下 3 个城市从其余 5 人中选 3 人，有 ${\mathrm{A}}_5^3$ 种；
  • 乙去巴黎：同理有 ${\mathrm{A}}_5^3$ 种。
• 用总数减去这两个不合题意的情况数即可。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

解：

• 方法一：位置优先分析法 由于甲、乙两人不去巴黎游览，因此“巴黎”是一个受到严格限制的特殊位置，应优先予以安排：

1. 第一步（安排去巴黎的人）： 除去甲、乙两人，能去巴黎的候选人只有其余的 4 人。 从这 4 人中任选 1 人去巴黎游览，共有： ${\mathrm{C}}_4^1=4\text{ 种选法}$

2. 第二步（安排去其余三个城市的人）： 巴黎的人选确定后，还剩下 $6-1=5$ 人（此时甲、乙两人在其余城市没有限制，回归候选池）。 从这 5 人中任意挑选 3 人，分别派往伦敦、悉尼、莫斯科三个不同的城市进行全排列游览，共有： ${\mathrm{A}}_5^3=5\times 4\times 3=60\text{ 种选法}$

根据分步乘法计数原理，不同的选择方案总共有： $N={\mathrm{C}}_4^1\times {\mathrm{A}}_5^3=4\times 60=240\text{ 种}$

故 (B) 选项正确。

• 方法二：间接排除法

1. 计算无限制条件下的总选择方案数： 从 6 人中选出 4 人分配到 4 个不同的城市，总共有： ${\mathrm{A}}_6^4=6\times 5\times 4\times 3=360\text{ 种}$

2. 计算不符合题意（甲或乙去了巴黎）的方案数：

   • 若甲去了巴黎，则巴黎位置固定，剩下的伦敦、悉尼、莫斯科 3 个城市由剩下的 5 人来选派，共有 ${\mathrm{A}}_5^3=60$ 种；
   • 若乙去了巴黎，同理，剩下的 3 个城市由剩下的 5 人来选派，共有 ${\mathrm{A}}_5^3=60$ 种。 (注：由于甲、乙是两个不同的人，甲去巴黎和乙去巴黎这两个事件是互斥的，不存在重复计算的情况。)

用总方案数减去不合题意的方案数，得到符合题意的方案数为： $N={\mathrm{A}}_6^4-{\mathrm{A}}_5^3-{\mathrm{A}}_5^3=360-60-60=240\text{ 种}$

故 (B) 选项正确。

综合上述， (B) 选项符合题意。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分步乘法计数原理、排列数与组合数的混合建模应用。
2. 核心方法：特殊位置优先法、正难则反的对立排除法。
3. 避坑指南：

• 切勿在第一步就将甲、乙完全从后续的候选池中剔除。有些同学在第一步让其余 4 人中的 1 人去了巴黎后，误以为后续只能从剩下的 3 人里选人去剩下的城市，算成 ${\mathrm{C}}_4^1\times {\mathrm{A}}_3^3=24$ 种。请注意：甲、乙只是不去巴黎，但完全可以去伦敦、悉尼或莫斯科。因此在安排完巴黎后，甲、乙必须重新放回候选人名单中参与剩下的分派。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自 2005 年福建卷理科数学第 9 题，是排列组合中非常经典的“有限制条件的元素分配问题”。
2. 结论推广：设有 $m$ 个不同的元素分配到 $n$ 个不同的位置（ $m⩾n$ ），其中有 $k$ 个特殊元素不能分配到某个特殊位置 $X$。常用的解决策略有两种：

• 位置优先法：优先从其余 $m-k$ 个元素中选 1 个填入位置 $X$，再将剩下的 $m-1$ 个元素全排列分入剩下的 $n-1$ 个位置，方案数为 ${\mathrm{C}}_{m-k}^1\cdot {\mathrm{A}}_{m-1}^{n-1}$。
• 元素分类法：按特殊元素是否参与分配进行分类讨论。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合
• 22.02 排列组合 16 种核心解题模型与策略

类题演练 (Links)