2005-福建卷理-08 单-空间直角坐标系的建立

本题导读

本题主要考查长方体中异面直线所成角的计算。由于图形为规则的长方体结构，最直接且不易出错的方法是利用顶点垂直关系建立空间直角坐标系，将几何夹角问题转化为空间向量的代数夹角运算。

📌【题干】

Question

（2005年福建卷(理)） 8. 如图，长方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中， $A{A}_1=AB=2$， $AD=1$，点 $E$、 $F$、 $G$ 分别是 $D{D}_1$、 $AB$、 $C{C}_1$ 的中点，则异面直线 $A_{1}E$ 与 $GF$ 所成的角是 ()

A. $\arccos \frac{\sqrt{15}}{5}$　　　　　　　B. $\frac{\pi }{4}$　　　　　　　C. $\arccos \frac{\sqrt{10}}{5}$　　　　　　　D. $\frac{\pi }{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建立空间直角坐标系：长方体中从同一顶点出发的三条棱互相垂直。以 $D$ 为原点，射线 $DA$ 为 $x$ 轴正方向，射线 $DC$ 为 $y$ 轴正方向，射线 $D{D}_1$ 为 $z$ 轴正方向，建立空间直角坐标系。
2. 写出关键点与方向向量坐标：根据给定棱长（ $AB=2⟹CD=2,AD=1,A{A}_1=2$ ）及中点条件，依次写出点 $A_1,E,G,F$ 的坐标，并进一步算出向量 $\overrightarrow{A_{1}E}$ 与 $\overrightarrow{GF}$ 的坐标表示。
3. 向量夹角公式计算：利用公理公式 $\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{A_{1}E}\cdot \overrightarrow{GF}|}{|\overrightarrow{A_{1}E}|\cdot |\overrightarrow{GF}|}$ 算出其余弦值（异面直线所成角的范围为 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$，故分子加绝对值），最后用反三角函数表示。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

解： 以 $D$ 为坐标原点， $\overrightarrow{DA}$ 方向为 $x$ 轴正方向， $\overrightarrow{DC}$ 方向为 $y$ 轴正方向， $\overrightarrow{D{D}_1}$ 方向为 $z$ 轴正方向，建立空间直角坐标系 $D-xyz$。

• 第一步：确定相关顶点的空间坐标 根据题意，长方体的各边长为： $AD=1⟹x\text{ 方向总长为 }1$ $AB=2⟹DC=2⟹y\text{ 方向总长为 }2$ $A{A}_1=2⟹D{D}_1=2⟹z\text{ 方向总长为 }2$

各顶点的坐标为：

• $D(0,0,0)$, $A_1(1,0,2)$

• $\because E$ 是 $D{D}_1$ 的中点， $\therefore E(0,0,1)$

• $\because G$ 是 $C{C}_1$ 的中点， $\therefore G(0,2,1)$

• $\because F$ 是 $AB$ 的中点，且 $A(1,0,0),B(1,2,0)$， $\dots F(1,1,0)$

• 第二步：计算两异面直线的方向向量坐标 $\overrightarrow{A_{1}E}=E-A_1=(0-1,0-0,1-2)=(-1,0,-1)$ $\overrightarrow{GF}=F-G=(1-0,1-2,0-1)=(1,-1,-1)$

• 第三步：计算两向量的夹角余弦值 首先计算两向量的模长与数量积：

• $|\overrightarrow{A_{1}E}|=\sqrt{(-1{)}^2+0^2+(-1{)}^2}=\sqrt{2}$

• $|\overrightarrow{GF}|=\sqrt{1^2+(-1{)}^2+(-1{)}^2}=\sqrt{3}$

• $\overrightarrow{A_{1}E}\cdot \overrightarrow{GF}=(-1)\times 1+0\times (-1)+(-1)\times (-1)=-1+0+1=0$

• 第四步：得出异面直线夹角 设异面直线 $A_{1}E$ 与 $GF$ 所成的角为 $\theta$： $\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{A_{1}E}\cdot \overrightarrow{GF}|}{|\overrightarrow{A_{1}E}|\cdot |\overrightarrow{GF}|}=\frac{0}{\sqrt{2}\times \sqrt{3}}=0$

由于 $\theta \in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ 且 $\cos \theta =0$，所以： $\theta =\frac{\pi }{2}$

故 (D) 选项正确。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：长方体空间坐标系的建系规则、异面直线方向向量夹角的计算。
2. 核心方法：空间向量坐标代数化法（由于内积直接为 0 判定垂直）。
3. 避坑指南：

• 不要弄错长方体各轴对应的长度单位。本题中 $AD=1$ 对应 $x$ 轴长度， $AB=2$ 对应 $y$ 轴长度。如果建系时主观认为所有底边都相等而把 $F$ 的坐标写错，就会导致后续满盘皆输。
• 注意异面直线所成角的取值范围。异面直线所成角范围是 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$，通过向量求出的余弦值如果出现负数，必须要加绝对值取正。本题数量积恰好为 0，说明两直线相互垂直。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自 2005 年福建卷理科数学第 8 题，考查立体几何中利用现代坐标向量法解决经典夹角问题的能力。
2. 结论推广：在立体几何选择题中，如果要求两条异面直线的夹角且几何体具备良好的正交边界（如正方体、长方体、直三棱柱），无脑建系法永远是最稳健且不需要作辅助线的通用解法。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 21.01 空间向量及其运算
• 21.03 空间向量求角

类题演练 (Links)