2005-福建卷理-07 单-充分必要条件的判定

本题导读

本题主要考查充分条件与必要条件的判定。核心在于分别解出命题 $p$ 和 $q$ 对应的不等式解集，再利用集合的包含关系（小集合能推出大集合）来判定充要关系。

📌【题干】

Question

（2005年福建卷(理)） 7. 已知 $p:|2x-3|<1$， $q:x(x-3)<0$，则 $p$ 是 $q$ 的 ()

A. 充分不必要条件　　　　　　　　　　B. 必要不充分条件

C. 充要条件　　　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 化简命题 $p$ 对应的集合 $P$：解绝对值不等式 $|2x-3|<1$，化为双向不等式后求解，得出 $x$ 的范围。
2. 化简命题 $q$ 对应的集合 $Q$：解一元二次不等式 $x(x-3)<0$，得出 $x$ 的范围。
3. 包含关系判定：

• 若 $P⊊Q$，则 $p⟹q$ 且 $q/⟹p$，此时 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件。
• 若 $Q⊊P$，则 $q⟹p$ 且 $p/⟹q$，此时 $p$ 是 $q$ 的必要不充分条件。
• 若 $P=Q$，则为充要条件。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

解： 设命题 $p,q$ 对应的解集分别为集合 $P,Q$。

• 第一步：化简命题 $p$ 由 $|2x-3|<1$ 可得： $-1<2x-3<1$ 各项同加 3 得： $2<2x<4$ 各项同除以 2 得： $1<x<2$ 故集合 $P=\{x\mid 1<x<2\}$。

• 第二步：化简命题 $q$ 由 $x(x-3)<0$ 可直接得出两根为 0 和 3。 根据“小于取中间”的规律，解得： $0<x<3$ 故集合 $Q=\{x\mid 0<x<3\}$。

• 第三步：比较集合包含关系并下结论 将两个区间在数轴上表示出来： 显然，区间 $(1,2)$ 严格包含于区间 $(0,3)$ 内，即 $P⊊Q$。

• 当 $x\in P⟹x\in (1,2)$ 时，必然有 $x\in (0,3)⟹x\in Q$，充分性成立；

• 反之，当 $x\in Q$ 时（例如 $x=0.5$）， $x$ 不一定在集合 $P$ 内，必要性不成立。

因此， $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件。

故 (A) 选项正确。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：绝对值不等式与一元二次不等式的求解、集合包含关系与逻辑用语的转化。
2. 核心方法：集合包含法（小范围 $⟹$ 大范围）。
3. 避坑指南：

• 牢记“小集合”是“大集合”的充分不必要条件。对于区间类命题，直接把充要条件转化为小范围推大范围，直观且不易出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自 2005 年福建卷理科数学第 7 题，考查利用集合关系判定充要条件的常规典型题。
2. 结论推广：设命题 $p,q$ 对应的集合分别为 $P,Q$，则：

• $P\subseteq Q⟺p$ 是 $q$ 的充分条件；
• $Q\subseteq P⟺p$ 是 $q$ 的必要条件。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语
• 03.04 绝对值不等式及排序不等式

类题演练 (Links)