2005-福建卷理-05 单-指数函数的图象与性质

本题导读

本题主要考查指数函数的图象与性质以及图象平移变换规律。通过观察图象的单调性确定底数 $a$ 的取值范围，再利用图象与 $y$ 轴的交点位置或特殊点的平移确定参数 $b$ 的符号。

📌【题干】

Question

（2005年福建卷(理)） 5. 若函数 $f(x)=a^{x-b}$ 的图象如图所示，其中 $a$、 $b$ 为常数，则下列结论正确的是 ()

A. $a>1,b<0$　　　　　　　　　　　　　B. $a>1,b>0$

C. $0<a<1,b>0$　　　　　　　　　　　D. $0<a<1,b<0$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 判定底数 $a$ 的范围：观察函数图象的变化趋势。图象从左到右逐渐下降，说明函数在定义域内是单调递减的，据此直接判断底数 $a$ 满足 $0<a<1$。
2. 判定参数 $b$ 的符号：

• 方法一（平移法）：标准底数为 $0<a<1$ 的指数函数 $y=a^x$ 恒过定点 $(0,1)$。当前图象可看作由 $y=a^x$ 向左或向右平移得到，通过观察定点移动后的位置确定 $b$ 的正负。
• 方法二（交点法）：令 $x=0$，求出图象与 $y$ 轴交点的纵坐标 $f(0)=a^{-b}$。结合图象中交点在 $(0,0)$ 与 $(0,1)$ 之间这一几何特征列出不等式求解。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

解：

• 第一步：确定底数 $a$ 的取值范围 由图象可知，随自变量 $x$ 的增大，函数值 $y$ 逐渐减小，即函数 $f(x)=a^{x-b}$ 在 $\mathbf{R}$ 上是单调递减函数。 根据指数函数的单调性规律，当且仅当底数满足 $0<a<1$ 时，指数函数为减函数。 $\therefore 0<a<1$ 由此可排除 (A)、(B) 选项。

• 第二步：确定参数 $b$ 的符号

• 方法一：定点平移分析 未平移的基础指数函数 $y=a^x$ （ $0<a<1$ ）的图象恒过定点 $(0,1)$。 当解析式变为 $f(x)=a^{x-b}$ 时，令指数为 0 得到 $x-b=0⟹x=b$。 此时 $f(b)=a^0=1$，说明平移后的图象恒过定点 $(b,1)$。 观察题中给出的函数简图，纵坐标为 1 的点在 $y$ 轴的左侧（即第二象限）。 这意味着定点的横坐标必须小于 0： $b<0$ 由此可排除 (C) 选项。

• 方法二：截距不等式分析 令 $x=0$，可得函数图象与 $y$ 轴的交点坐标为 $(0,a^{-b})$。 从图象中可以直观观察到，该交点位于 $y$ 轴正半轴上纵坐标为 1 的点下方，且在 $x$ 轴上方： $0<a^{-b}<1$ 因为已求出 $0<a<1$，根据底数小于 1 的幂函数性质，底数小于 1 时，幂值小于 1 对应的指数必须大于 0： $-b>0⟹b<0$

综合上述， $0<a<1$ 且 $b<0$， (D) 选项符合题意。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：指数函数底数对单调性的控制、解析式变形 $f(x-b)$ 对应的“左加右减”平移规律。
2. 核心方法：定点坐标跟踪法、纵截距范围代数法。
3. 避坑指南：

• 不要记反平移规律的代数符号。解析式中自变量减去 $b$ （即 $x-b$），对应的几何变换是：若 $b>0$ 则向右平移，若 $b<0$ 则向左平移。本题图象是由标准位置向左平移得到的，故平移量应为负，即 $b<0$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自 2005 年福建卷理科数学第 5 题，考查初等函数基本图象的形态辨析及参数控制。
2. 结论推广：对于任意函数 $y=f(x-b)$，其定点与轴交点的移动趋势与整个图象的几何平移完全同步。在处理含参图象选择题时，**“抓定点”与“看截距”**是最普遍、最不易出错的解题组合拳。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质
• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)