2005-福建卷理-01 单-复数的代数形式及其四则运算

本题导读

本题主要考查复数的代数形式运算与共轭复数的概念。通过分子分母同乘分母的共轭复数将已知复数化为代数标准形式，再求其共轭复数。

📌【题干】

Question

（2005年福建卷(理)）

1. 复数 $z=\frac{1}{1-\mathrm{i}}$ 的共轭复数是 ()

A. $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\mathrm{i}$　　　　B. $\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\mathrm{i}$　　　　C. $1-\mathrm{i}$　　　　D. $1+\mathrm{i}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 复数化简：将复数 $z=\frac{1}{1-\mathrm{i}}$ 的分子、分母同时乘以分母的共轭复数 $1+\mathrm{i}$，进行分母实数化，整理为 $a+b\mathrm{i}$ ($a,b\in \mathbf{R}$) 的标准形式。
2. 求共轭复数：根据共轭复数的定义，复数 $u=a+b\mathrm{i}$ 的共轭复数为 $\bar{u}=a-b\mathrm{i}$，将虚部符号取反即可。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

解： 首先将复数 $z$ 化简为代数标准形式： $z=\frac{1}{1-\mathrm{i}}=\frac{1\cdot (1+\mathrm{i})}{(1-\mathrm{i})(1+\mathrm{i})}=\frac{1+\mathrm{i}}{1-{\mathrm{i}}^2}$

$\because {\mathrm{i}}^2=-1$， $\therefore z=\frac{1+\mathrm{i}}{1-(-1)}=\frac{1+\mathrm{i}}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\mathrm{i}$

根据共轭复数的定义，实部保持不变，虚部变为相反数： $\bar{z}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\mathrm{i}$

故 (B) 选项正确。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数分母实数化运算、共轭复数的代数定义。
2. 核心方法：分母共轭因式乘积法。
3. 避坑指南：

• 切勿混淆“ $z$ 的标准形式”与“ $z$ 的共轭复数”。化简后得到的 $z=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\mathrm{i}$ 对应 A 选项，若审题不仔细易错选 A。题目要求的是“共轭复数”，务必进行最后一步虚部变号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自 2005 年福建高考理科数学第 1 题，属于考查复数基本运算的常规开篇送分题。
2. 结论推广：对于形如 $z=\frac{1}{a+b\mathrm{i}}$ 的复数，其共轭复数 $\bar{z}$ 满足 $\bar{z}=\frac{1}{a-b\mathrm{i}}$。本题中 $z=\frac{1}{1-\mathrm{i}}⟹\bar{z}=\frac{1}{1+\mathrm{i}}=\frac{1-\mathrm{i}}{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\mathrm{i}$。

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