2005-福建卷文-22 解-椭圆方程与存在性探究

本题导读

本题考查椭圆的标准方程与直线与椭圆的位置关系。核心在于对称点条件定参数与存在性探究。

📌【题干】

Question

（2005年福建卷(文)） 已知方向向量为 $\vec{v}=(1,\sqrt{3})$ 的直线 $l$ 过点 $\left(0,-2\sqrt{3}\right)$ 和椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的焦点，且椭圆 $C$ 的中心关于直线 $l$ 的对称点在椭圆 $C$ 的右准线上．

(1) 求椭圆 $C$ 的方程；

(2) 是否存在过点 $E(-2,0)$ 的直线 $m$ 交椭圆 $C$ 于点 $M$、$N$，满足 $\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{ON}=\frac{4}{3}\sqrt{6}\cot \angle MON\ne 0$（$O$ 为原点）？若存在，求直线 $m$ 的方程；若不存在，请说明理由．

🔍【思路分析】

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1. $l$ 与 $x$ 轴交点即右焦点。
2. 中心关于 $l$ 的对称点落在准线上求 $a^2$。
3. (2) 设参韦达，条件化为面积元 $\Delta =K$，再验竖直与斜率两情形。

✅【答案】

Success

存在这样的直线 $m$，其方程分别为 $x=-2$，$y=\frac{\sqrt{3}}{3}(x+2)$，$y=-\frac{\sqrt{3}}{3}(x+2)$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 直线 $l$ 过 $\left(0,-2\sqrt{3}\right)$，斜率为 $\sqrt{3}$，方程为 $y=\sqrt{3}x-2\sqrt{3}$，与 $x$ 轴交于点 $(2,0)$，故椭圆右焦点为 $(2,0)$，$c=2$． 原点到直线 $\sqrt{3}x-y-2\sqrt{3}=0$ 的垂足为 $H\left(\frac{3}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$，所以中心 $O(0,0)$ 关于 $l$ 的对称点为 $\left(3,-\sqrt{3}\right)$．右准线方程为 $x=\frac{a^2}{c}=\frac{a^2}{2}$，由对称点在右准线上得 $\frac{a^2}{2}=3$，即 $a^2=6$；又 $c^2=a^2-b^2$，得 $b^2=2$．所以椭圆 $C$ 的方程为 $\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1$． (2) 记 $K=\frac{4}{3}\sqrt{6}$，$\theta =\angle MON$，$D=\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{ON}$，$\Delta =|\det (\overrightarrow{OM},\overrightarrow{ON})|=|\overrightarrow{OM}||\overrightarrow{ON}|\sin \theta$．由于 $\cot \theta =\frac{D}{\Delta }$ 且 $D\ne 0$，题设等式等价于 $\Delta =K$． 先考虑非竖直直线：设 $m:y=k(x+2)$，令 $x=-2+t$，$y=kt$，代入椭圆方程得 $(1+3k^2)t^2-4t-2=0$．设两根为 $t_1$，$t_2$，则 $|t_1-t_2|=\frac{2\sqrt{6}\sqrt{1+k^2}}{1+3k^2}$．取 $\vec{u}=(1,k)$，则 $M=E+t_1\vec{u}$，$N=E+t_2\vec{u}$，所以 $\Delta =|t_1-t_2|\cdot |\det (E,\vec{u})|=\frac{2\sqrt{6}\sqrt{1+k^2}}{1+3k^2}\times 2|k|=\frac{4\sqrt{6}|k|\sqrt{1+k^2}}{1+3k^2}$．令 $\Delta =K$，得 $3|k|\sqrt{1+k^2}=1+3k^2$，两边均为非负数，平方化简得 $3k^2=1$，$k=\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$．此时 $\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{ON}=\frac{10k^2-6}{1+3k^2}=-\frac{4}{3}\ne 0$，故两条非竖直直线均满足题设条件． 再考虑竖直直线 $x=-2$：交点 $M\left(-2,\sqrt{\frac{2}{3}}\right)$，$N\left(-2,-\sqrt{\frac{2}{3}}\right)$，此时 $\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{ON}=\frac{10}{3}\ne 0$，$\Delta =\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{6}}{3}=K$，也满足题设条件． 综上，存在这样的直线 $m$，其方程分别为 $x=-2$，$y=\frac{\sqrt{3}}{3}(x+2)$，$y=-\frac{\sqrt{3}}{3}(x+2)$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆方程与存在性探究

核心方法：对称点定 $a^2$；设参后条件化为 $\Delta =K$，韦达定理算数量积回验非零

避坑指南：转化 $\cot \angle MON=\frac{D}{\Delta }$ 依赖 $D\ne 0$（题设已给）；平方去根号后必须回验 $D\ne 0$，竖直直线要单独讨论

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版选修 1-1 圆锥曲线

结论推广：中心关于直线的对称点落在准线上 $\Rightarrow$ 准线位置确定 $\Rightarrow a^2,c$ 全定；$\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{ON}=K\cot \angle MON$ 型条件等价于三角形面积元 $\Delta =K$

方法推广：存在性问题双线并进：斜率情形设参用韦达，特殊情形（竖直）单独验证；求出参数后回验非零约束

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2009-大纲Ⅱ文-22 解-椭圆存在点与直线
• 2011-大纲卷文-22 解-椭圆与四点共圆
• 2013-大纲卷文-22 解-双曲线与等比数列