2005-福建卷文-20 解-三次函数的切线与单调区间

本题导读

本题考查导数的几何意义与利用导数研究单调性。核心在于待定系数法求解析式并解单调区间。

📌【题干】

Question

（2005年福建卷(文)） 已知函数 $f(x)=x^3+b{x}^2+ax+d$ 的图象过点 $P(0,2)$，且在点 $M(-1,f(-1))$ 处的切线方程为 $6x-y+7=0$．

(1) 求函数 $y=f(x)$ 的解析式；

(2) 求函数 $y=f(x)$ 的单调区间．

🔍【思路分析】

破题导航

1. $f(0)=d=2$。
2. 切线斜率 6 与切点在切线上给两个方程。
3. (2) 解 $f^{\prime }(x)=0$ 分区间定号。

✅【答案】

Success

因此f(x) = x3 −3x2 −3x+ 2

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由图象过 $P(0,2)$ 得 $d=2$．切线 $6x-y+7=0$ 即 $y=6x+7$，故切点纵坐标 $f(-1)=6\times (-1)+7=1$，且 $f^{\prime }(-1)=6$．$f^{\prime }(x)=3x^2+2bx+a$，得 $3-2b+a=6$；又 $f(-1)=-1+b-a+2=1$，得 $b-a=0$，即 $a=b$．代入解得 $a=b=-3$．所以 $f(x)=x^3-3x^2-3x+2$． (2) $f^{\prime }(x)=3x^2-6x-3=3[(x-1{)}^2-2]$．令 $f^{\prime }(x)=0$ 得 $x=1-\sqrt{2}$ 或 $x=1+\sqrt{2}$．$f^{\prime }(x)$ 开口向上，$x<1-\sqrt{2}$ 或 $x>1+\sqrt{2}$ 时 $f^{\prime }(x)>0$；$1-\sqrt{2}<x<1+\sqrt{2}$ 时 $f^{\prime }(x)<0$．故增区间为 $(-\infty ,1-\sqrt{2})$ 和 $(1+\sqrt{2},+\infty )$，减区间为 $(1-\sqrt{2},1+\sqrt{2})$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三次函数的切线与单调区间

核心方法：待定系数解 $a,b,d$，令 $f^{\prime }(x)=0$ 分区间定号

避坑指南：切点条件要同时给出 $f(-1)=1$ 与 $f^{\prime }(-1)=6$ 两个方程，只用其一解不出三元；单调区间开闭别写错

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版选修 1-1 导数及其应用

结论推广：三次函数 $f(x)=x^3+p{x}^2+qx+r$ 的单调性由 $f^{\prime }(x)=0$ 的两根分割

方法推广：切线条件翻译为”切点坐标代入 + 导数值相等”两个方程；待定系数是求解析式的通用起手

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2020-新课标I文-20 解-导数综合
• 2018-全国卷I理-20 解-独立重复试验