2005-福建卷文-17 解-同角三角关系求值

本题导读

本题考查同角三角函数关系的应用。核心在于平方求积并利用角的范围定号。

📌【题干】

Question

（2005年福建卷(文)） 已知 $-\frac{\pi }{2}<x<0$，$\sin x+\cos x=\frac{1}{5}$．

(1) 求 $\sin x-\cos x$ 的值；

(2) 求 $\frac{\sin 2x+2{\sin }^{2}x}{1-\tan x}$ 的值．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 平方 $(\sin x+\cos x{)}^2$ 求 $\sin x\cos x$。
2. 由 $-\frac{\pi }{2}<x<0$ 定 $\sin x-\cos x$ 的符号。
3. (2) 化弦后整体代入。

✅【答案】

Success

(1) $-\frac{7}{5}$

(2) $-\frac{24}{175}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 记 $s=\sin x$，$c=\cos x$．由 $-\frac{\pi }{2}<x<0$ 知 $s<0$，$c>0$．由 $(s+c{)}^2=\frac{1}{25}$ 得 $1+2sc=\frac{1}{25}$，所以 $sc=-\frac{12}{25}$．又 $(s-c{)}^2=1-2sc=\frac{49}{25}$，而 $s-c<0$，故 $\sin x-\cos x=s-c=-\frac{7}{5}$． (2) $\sin 2x+2{\sin }^{2}x=2sc+2s^2=2s(s+c)=\frac{2s}{5}$；又 $1-\tan x=\frac{c-s}{c}$，而 $c-s=\frac{7}{5}$，故原式 $=\frac{2s}{5}\cdot \frac{5c}{7}=\frac{2sc}{7}=\frac{2\times \left(-\frac{12}{25}\right)}{7}=-\frac{24}{175}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：同角三角关系求值

核心方法：平方求 $sc$，由 $-\frac{\pi }{2}<x<0$ 定 $s-c$ 符号，(2) 化弦整体代入

避坑指南：$\sin x-\cos x$ 的符号由 $s<0<c$ 决定取 $-\frac{7}{5}$，漏定号就得 $+\frac{7}{5}$；(2) 分子先提 $2s$ 可大幅减少运算量

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版必修 4 三角恒等变换

结论推广：$(s+c{)}^2=1+2sc$、$(s-c{)}^2=1-2sc$ 是”已知和差求积、已知积求差”的枢纽

方法推广：给值求值三步：平方求积、依角定号、整体代入；化弦后提公因式可减少运算

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2020-新课标II文-17 解-解三角形
• 2012-大纲卷文-17 解-等差内角与正弦定理