2005-福建卷文-16 填-函数图象的对称变换

本题导读

本题考查函数图象的对称变换，以及点变换法。

📌【题干】

Question

（2005年福建卷(文)） 把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题： 若函数 $f(x)=3+{\log }_{2}x$ 的图象与 $g(x)$ 的图象关于$\underline{}$对称，则函数 $g(x)=$ $\underline{}$． 注：填上你认为可以成为真命题的一件情形即可，不必考虑所有可能的情形．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 关于 $x$ 轴对称：$(x,y)\to (x,-y)$。
2. $g(x)=-f(x)$。
3. 写出解析式即可（开放题任选一种情形）。

✅【答案】

Success

x轴；g(x)=−3−log2x

✍【详细解析】

Abstract

关于 $x$ 轴对称时，图象上的点 $(x,f(x))$ 变为 $(x,-f(x))$，因此 $g(x)=-f(x)=-3-{\log }_{2}x(x>0)$．故可填”$x$ 轴”和 $g(x)=-3-{\log }_{2}x$． 注：本题答案不唯一，如关于 $y$ 轴对称时 $g(x)=3+{\log }_2(-x)$；关于原点对称时 $g(x)=-3-{\log }_2(-x)$；关于直线 $y=x$ 对称时 $g(x)=2^{x-3}$，任填一种即可．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：函数图象的对称变换

核心方法：按对称类型写出点变换 $(x,y)\to (x,-y)$，得 $g(x)=-f(x)$

避坑指南：开放题只需一种情形，但解析式与对称类型必须配套——填”$y$ 轴”却写 $-3-{\log }_{2}x$ 就自相矛盾

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版必修 1 函数图象的对称变换

结论推广：$y=-f(x)$（$x$ 轴）、$y=f(-x)$（$y$ 轴）、$y=-f(-x)$（原点）；反函数图象关于 $y=x$

方法推广：开放性填空题选自己最熟练的一种情形作答，务必保证”对称类型—解析式”配套一致

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.05 对称性问题

类题演练 (Links)

• 2018-全国卷III文-16 填-函数奇偶性
• 2009-大纲Ⅰ文-16 填-平行线倾斜角