2005-福建卷文-11 单-异面直线所成的角

本题导读

本题考查异面直线所成角的求法，以及空间坐标系中方向向量的应用。

📌【题干】

Question

（2005年福建卷(文)） 如图，长方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，$A{A}_1=AB=2$，$AD=1$，点 $E$、$F$、$G$ 分别是 $D{D}_1$、$AB$、$C{C}_1$ 的中点，则异面直线 $A_{1}E$ 与 $GF$ 所成的角是() （图见配图）

A. $\arccos \frac{\sqrt{15}}{5}$　　　　　　　B. $\frac{\pi }{4}$　　　　　　　C. $\arccos \frac{\sqrt{10}}{5}$　　　　　　　D. $\frac{\pi }{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 以 $A$ 为原点建系，写出各点坐标。
2. 求方向向量 $\overrightarrow{A_{1}E}$ 与 $\overrightarrow{GF}$。
3. 数量积为零即垂直。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

建立直角坐标系，取 $A(0,0,0)$，$B(2,0,0)$，$D(0,1,0)$，$A_1(0,0,2)$，于是 $C(2,1,0)$，且中点坐标为 $E(0,1,1)$，$F(1,0,0)$，$G(2,1,1)$．取两异面直线的方向向量 $\overrightarrow{A_{1}E}=(0,1,-1)$，$\overrightarrow{GF}=(-1,-1,-1)$，其数量积为 $0\times (-1)+1\times (-1)+(-1)\times (-1)=0$，所以两直线所成的角为 $\frac{\pi }{2}$，选 D．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：异面直线所成的角

核心方法：建系写坐标，方向向量数量积为零即垂直

避坑指南：坐标要按 $AD=1$、$AB=A{A}_1=2$ 摆对——长宽高混淆就会得 $\arccos \frac{\sqrt{15}}{5}$ 一类错误选项

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版必修 2 立体几何（异面直线）

结论推广：异面直线所成角 $\theta \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right]$；数量积为零 $⟺\theta =\frac{\pi }{2}$

方法推广：建系求异面角：$\cos \theta =\frac{|\vec{a}\cdot \vec{b}|}{|\vec{a}||\vec{b}|}$，垂直时直接得 $\frac{\pi }{2}$，无需再求模

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2014-大纲卷理-11 单-异面直线所成的角
• 2008-大纲卷I理-11 单-线面位置
• 2016-全国卷I理-11 单-立体几何