2005-福建卷文-05 单-基本不等式的适用条件

本题导读

本题考查基本不等式的适用条件，以及对各选项逐一验证举反例。

📌【题干】

Question

（2005年福建卷(文)） 下列结论正确的是()

A. 当 $x>0$ 且 $x\ne 1$ 时，$\lg x+\frac{1}{\lg x}⩾2$

B. 当 $x>0$ 时，$\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}⩾2$

C. 当 $x⩾2$ 时，$x+\frac{1}{x}$ 的最小值为 $2$

D. 当 $0<x⩽2$ 时，$x-\frac{1}{x}$ 无最大值

🔍【思路分析】

破题导航

1. A 中 $\lg x$ 可取负值。
2. B 中 $\sqrt{x}>0$ 恒可用基本不等式。
3. C、D 用单调性求最值核对。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

B 中令 $t=\sqrt{x}>0$，则 $\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}=t+\frac{1}{t}⩾2$，等号在 $t=1$ 即 $x=1$ 时成立，恒成立，正确．A 不恒成立，如 $\lg x=-1$ 时左边为 $-2$；C 中 $x+\frac{1}{x}$ 在 $[2,+\infty )$ 上递增（导数 $1-\frac{1}{x^2}>0$），最小值为 $\frac{5}{2}$；D 中 $x-\frac{1}{x}$ 在 $(0,2]$ 上递增（导数 $1+\frac{1}{x^2}>0$），最大值为 $\frac{3}{2}$，“无最大值”说法错误．故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：基本不等式的适用条件

核心方法：逐项验证：A 举反例、B 用 $t+\frac{1}{t}⩾2$、C、D 用单调性

避坑指南：基本不等式”一正二定三相等”缺一不可：A 中 $\lg x$ 可取负值；C 中取等点 $x=1$ 不在 $[2,+\infty )$ 内

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版必修 5 基本不等式

结论推广：$t+\frac{1}{t}⩾2$ 当且仅当 $t>0$；对勾函数 $x+\frac{1}{x}$ 在 $(0,1]$ 减、$[1,+\infty )$ 增

方法推广：判断含基本不等式的命题真假，标准流程是逐项查”正、定、等”三条件

🔗【关联脉络】

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