2005-湖南卷理-19 解-椭圆的几何性质与离心率

本题导读

本题考查椭圆的方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系。第一问通过联立方程求出交点坐标并利用向量共线进行证明；第二问利用对称性与椭圆定义简化边长计算，通过分类讨论确定使三角形为等腰三角形的参数值。

📌【题干】

Question

（2005年湖南卷(理)） 已知椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>b>0$) 的左、右焦点为 $F_1$、$F_2$，离心率为 $e$. 直线 $l:y=ex+a$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于点 $A$、$B$， $M$ 是直线 $l$ 与椭圆 $C$ 的一个公共点，$P$ 是点 $F_1$ 关于直线 $l$ 的对称点，设 $\overrightarrow{AM}=\lambda \overrightarrow{AB}$.

(1) 证明：$\lambda =1-e^2$；

(2) 确定 $\lambda$ 的值，使得 $△P{F}_1{F}_2$ 是等腰三角形.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 联立求解点 $M$：计算直线 $l$ 的轴交点 $A,B$ 坐标，联立直线与椭圆方程，结合 $b^2=a^2(1-e^2)$ 解出切点（或交点） $M$ 的坐标，利用 $\overrightarrow{AM}=\lambda \overrightarrow{AB}$ 的横坐标分量比证得结论。
2. 求解特征边长：利用对称的几何意义与椭圆定义，证明 $P,M,F_2$ 三点共线，从而得出恒有 $|P{F}_2|=2a$。再根据点到直线距离公式求出线段 $|P{F}_1|$ 的长。
3. 分类讨论等腰条件：针对 $|P{F}_1|=|P{F}_2|$、 $|F_1{F}_2|=|P{F}_2|$、 $|F_1{F}_2|=|P{F}_1|$ 三种情况分别列出关于离心率 $e$ 的方程，结合 $0<e<1$ 确定最终的 $\lambda$ 值。

✅【答案】

Success

当 $\lambda =\frac{2}{3}$ 时， $△P{F}_1{F}_2$ 是等腰三角形

✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明： 由椭圆几何性质可知 $b^2=a^2(1-e^2)$。 对于直线 $l:y=ex+a$，令 $y=0$ 得 $A\left(-\frac{a}{e},0\right)$；令 $x=0$ 得 $B(0,a)$。 将直线 $l$ 的方程代入椭圆 $C$ 的方程中： $\frac{x^2}{a^2}+\frac{(ex+a{)}^2}{a^2(1-e^2)}=1⟹x^2(1-e^2)+(e^2{x}^2+2eax+a^2)=a^2(1-e^2)$ 化简整理得： $x^2+2eax+a^2{e}^2=0⟹(x+ae{)}^2=0$。 解得 $x_M=-ae$，代入直线方程得 $y_M=a(1-e^2)$，即 $M\left(-ae,a(1-e^2)\right)$。 因为 $\overrightarrow{AM}=\lambda \overrightarrow{AB}$，根据横坐标分量关系可得： $x_M-x_A=\lambda (x_B-x_A)⟹-ae-\left(-\frac{a}{e}\right)=\lambda \left(0-\left(-\frac{a}{e}\right)\right)$ 方程两边同乘以 $\frac{e}{a}$ 化简得： $-e^2+1=\lambda ⟹\lambda =1-e^2$。证毕。

(2) 解： 因为 $P$ 与 $F_1$ 关于直线 $l$ 对称，且 $M$ 在直线 $l$ 上，所以 $|M{F}_1|=|MP|$。 因为 $M$ 在椭圆上，由椭圆第一定义得 $|M{F}_1|+|M{F}_2|=2a$，故 $|MP|+|M{F}_2|=2a$。 结合各点坐标易算得斜率 $k_{MP}=k_{M{F}_2}=\frac{e^2-1}{2e}$，故 $P,M,F_2$ 三点共线，且 $M$ 在线段 $P{F}_2$ 上， 因此 $|P{F}_2|=|MP|+|M{F}_2|=2a$ 恒成立。 已知左焦点 $F_1(-ae,0)$，其到直线 $l:ex-y+a=0$ 的距离为： $d=\frac{|e(-ae)-0+a|}{\sqrt{1+e^2}}=\frac{a(1-e^2)}{\sqrt{1+e^2}}$ 根据对称性，线段 $|P{F}_1|=2d=\frac{2a(1-e^2)}{\sqrt{1+e^2}}$。又焦距 $|F_1{F}_2|=2ae$。 若 $△P{F}_1{F}_2$ 为等腰三角形，分以下三种情况讨论： ① 若 $|P{F}_1|=|P{F}_2|$，则 $\frac{2a(1-e^2)}{\sqrt{1+e^2}}=2a⟹1-e^2=\sqrt{1+e^2}$，两边平方得 $e^4-3e^2=0$，因 $0<e<1$，此方程无解； ② 若 $|F_1{F}_2|=|P{F}_2|$，则 $2ae=2a⟹e=1$，与 $0<e<1$ 矛盾，无解； ③ 若 $|F_1{F}_2|=|P{F}_1|$，则 $2ae=\frac{2a(1-e^2)}{\sqrt{1+e^2}}⟹e\sqrt{1+e^2}=1-e^2$，两边平方得 $e^2(1+e^2)=(1-e^2{)}^2⟹3e^2=1⟹e^2=\frac{1}{3}$。 因为 $0<e<1$，所以 $e=\frac{\sqrt{3}}{3}$ 符合题意。 此时 $\lambda =1-e^2=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$。 综上所述，当 $\lambda =\frac{2}{3}$ 时， $△P{F}_1{F}_2$ 是等腰三角形。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆锥曲线定义的应用，点关于直线对称的距离特征，等腰三角形的多解性讨论。
2. 核心方法：定义转化法。在处理对称点与焦点、曲线上的点的距离关系时，优先借助第一定义化简。
3. 避坑指南：第二问若直接求出点 $P$ 的复杂坐标再用两点间距离公式强行计算 $|P{F}_2|$，运算量极大且极易因化简失败而放弃。注意到 $P,M,F_2$ 三点共线且满足 $|P{F}_2|=2a$ 这一隐含几何事实是快速破题的关键。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于教材中椭圆焦点三角形以及轴对称变换的基本问题，通过引入动参数 $\lambda$ 和离心率 $e$ 进行了深度整合，考查了经典的数形结合与分类讨论思维。
2. 结论推广：在椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 中，若直线 $l$ 过上顶点 $(0,a)$ 且斜率为离心率 $e$，则同侧焦点关于该直线的对称点与另一焦点的距离恒等于长轴长 $2a$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 16.05 对称性问题
• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略

类题演练 (Links)