2005-湖南卷理-18 解-离散型随机变量的

本题导读

本题考查概率统计与函数单调性的综合应用。第一问需准确建立实际问题中两变量差的绝对值到随机变量 $\xi$ 的映射，通过独立事件乘法公式求出分布列与期望；第二问将函数的单调性区间转化为关于 $\xi$ 的不等式，进而求出对应事件的概率。

📌【题干】

Question

（2005年湖南卷(理)） 某城市有甲、乙、丙 3 个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是 0.4, 0.5, 0.6, 且客人是否游览哪个景点互不影响，设 $\xi$ 表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值.

(1) 求 $\xi$ 的分布列及数学期望；

(2) 记“函数 $f(x)=x^2-3\xi x+1$ 在区间 $[2,+\infty )$ 上单调递增”为事件 $A$，求事件 $A$ 的概率.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析变量 $\xi$ 的取值：设游览的景点数为 $X$，则未游览的景点数为 $3-X$。从而 $\xi =|X-(3-X)|=|2X-3|$。由于 $X\in \{0,1,2,3\}$，可确定 $\xi$ 的可能取值为 1 和 3。
2. 计算概率并求期望：分别计算 $X=0,1,2,3$ 的概率，结合映射关系求出 $P(\xi =1)$ 与 $P(\xi =3)$，列出分布列并计算期望。
3. 转化单调性临界条件：二次函数的对称轴为 $x=\frac{3\xi }{2}$，单调递增区间为 $\left[\frac{3\xi }{2},+\infty \right)$。由题意得 $\frac{3\xi }{2}\le 2$，解出 $\xi$ 的范围，锁定符合条件的 $\xi$ 值，对应的概率即为 $P(A)$。

✅【答案】

Success

所以ξ的分布为P(ξ= 1) = 0

✍【详细解析】

Abstract

(1) 设该客人游览的景点数为 $X$，则未游览的景点数为 $3-X$。 根据题意， $\xi =|X-(3-X)|=|2X-3|$。 因为 $X$ 的可能取值为 0, 1, 2, 3， 所以当 $X=0$ 或 $X=3$ 时， $\xi =3$； 当 $X=1$ 或 $X=2$ 时， $\xi =1$。 故 $\xi$ 的可能取值为 1, 3。

记游览甲、乙、丙景点的事件分别为 $M,N,Y$，其概率分别为 $P(M)=0.4,P(N)=0.5,P(Y)=0.6$。 则各景点未被游览的概率分别为 $P(\overline{M})=0.6,P(\overline{N})=0.5,P(\overline{Y})=0.4$。

计算 $\xi =3$ 的概率： $P(\xi =3)=P(X=0)+P(X=3)$ $P(X=0)=P(\overline{M})P(\overline{N})P(\overline{Y})=0.6\times 0.5\times 0.4=0.12$ $P(X=3)=P(M)P(N)P(Y)=0.4\times 0.5\times 0.6=0.12$ 所以 $P(\xi =3)=0.12+0.12=0.24$。

计算 $\xi =1$ 的概率： $P(\xi =1)=1-P(\xi =3)=1-0.24=0.76$

所以 $\xi$ 的分布列为：

$\xi$	1	3
$P$	0.76	0.24

数学期望为： $E(\xi )=1\times 0.76+3\times 0.24=0.76+0.72=1.48$

(2) 函数 $f(x)=x^2-3\xi x+1$ 的图象开口向上，其对称轴方程为 $x=\frac{3\xi }{2}$。 因为 $f(x)$ 在区间 $[2,+\infty )$ 上单调递增， 所以 $[2,+\infty )\subseteq \left[\frac{3\xi }{2},+\infty \right)$， 即： $\frac{3\xi }{2}\le 2⟹\xi \le \frac{4}{3}$ 因为 $\xi$ 的可能取值为 1 或 3，满足 $\xi \le \frac{4}{3}$ 的值只有 $\xi =1$。 所以事件 $A$ 发生当且仅当 $\xi =1$。 故事件 $A$ 的概率为： $P(A)=P(\xi =1)=0.76$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：离散型随机变量分布列的求解法则，二次函数在有界闭区间上单调性的对称轴临界判别。
2. 核心方法：互斥事件加法公式与独立事件乘法公式的组合应用。
3. 避坑指南：第一问求 $\xi$ 的取值时，容易误将景点数 $X$ 直接作为随机变量；第二问在处理二次函数单调性时，注意应是“对称轴小于等于区间的左端点”，切勿丢掉等号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于教材中“独立重复试验与随机变量期望”章节的深度拓展。命题者打破了传统的单一样本空间，引入绝对值结构构造新变量，并与跨板块的二次函数性质进行纵向交汇。
2. 结论推广：若有 $n$ 个独立事件，其发生的概率分别为 $p_1,p_2,\dots ,p_n$，设随机变量 $\xi$ 为发生次数与未发生次数差的绝对值，则 $\xi =|2X-n|$。当 $n$ 为奇数时， $\xi$ 的取值均为奇数；当 $n$ 为偶数时， $\xi$ 的取值均为偶数。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 23.03 离散型随机变量及其数字特征
• 15.02 随机事件、关系与独立性
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)