2005-湖南卷理-16 解-两角和与差的正弦公式

本题导读

本题考查三角恒等变换与解三角形的综合应用。核心意图是利用三角形内角和定理消除变量 $C$，结合两角和公式与二倍角公式化简三角方程组，从而求出各内角的大小。

📌【题干】

Question

（2005年湖南卷(理)） 已知在 $△ABC$ 中， $\sin A(\sin B+\cos B)-\sin C=0$， $\sin B+\cos 2C=0$，求角 $A、B、C$ 的大小.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 降维消元：由 $A+B+C=\pi$ 得 $\sin C=\sin (A+B)$，将其代入第一个方程展开化简，分离出角 $A$ 的值。
2. 建立关于 $B$ 的方程：利用角 $A$ 的确切值，将 $2C$ 用角 $B$ 线性表示，代入第二个方程中。
3. 求解三角方程：利用诱导公式和二倍角公式化简方程，求出角 $B$，进而得到角 $C$。

✅【答案】

Success

$A=\frac{\pi }{4}$， $B=\frac{\pi }{3}$， $C=\frac{5\pi }{12}$

✍【详细解析】

Abstract

在 $△ABC$ 中，有 $A+B+C=\pi$，则 $C=\pi -(A+B)$， 所以 $\sin C=\sin (A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B$。 代入第一个方程 $\sin A(\sin B+\cos B)-\sin C=0$ 中，得： $\sin A\sin B+\sin A\cos B-(\sin A\cos B+\cos A\sin B)=0$ 化简得： $\sin A\sin B-\cos A\sin B=0⟹(\sin A-\cos A)\sin B=0$ because $B$ 为 $△ABC$ 的内角，所以 $\sin B>0$。 因此必有 $\sin A-\cos A=0$，即 $\tan A=1$。 因为 $0<A<\pi$， 所以 $A=\frac{\pi }{4}$。

由 $A=\frac{\pi }{4}$ 可得 $C=\pi -\frac{\pi }{4}-B=\frac{3\pi }{4}-B$， 则 $2C=\frac{3\pi }{2}-2B$。 代入第二个方程 $\sin B+\cos 2C=0$ 中，得： $\sin B+\cos \left(\frac{3\pi }{2}-2B\right)=0$ 根据诱导公式， $\cos \left(\frac{3\pi }{2}-2B\right)=-\sin 2B$， 所以方程化为： $\sin B-\sin 2B=0⟹\sin B-2\sin B\cos B=0$ 因式分解得： $\sin B(1-2\cos B)=0$ because $\sin B>0$，所以 $1-2\cos B=0$，即 $\cos B=\frac{1}{2}$。 因为 $0<B<\pi$， 所以 $B=\frac{\pi }{3}$。

从而可求得角 $C$： $C=\pi -A-B=\pi -\frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{3}=\frac{5\pi }{12}$

综上所述， $A=\frac{\pi }{4}$， $B=\frac{\pi }{3}$， $C=\frac{5\pi }{12}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角形内角和中 $\sin C=\sin (A+B)$ 的代换与 $\cos \left(\frac{3\pi }{2}-\theta \right)=-\sin \theta$ 的诱导公式应用。
2. 核心方法：因式分解与消元法。通过 $\sin B\ne 0$ 这一隐藏几何条件进行两边约简，使高次方程降次。
3. 避坑指南：在化简 $(\sin A-\cos A)\sin B=0$ 时，必须显式说明 $\sin B>0$ 才能舍去 $\sin B=0$ 的可能性。此外，求出 $\cos B=\frac{1}{2}$ 时要注意结合三角形内角范围限制，防止漏解或错解。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于教材中解三角形与三角函数公式恒等变形的经典习题。命题者通过两个方程联立的三角方程组形式，深化考查了知识链条的完整性与逻辑推导的严密性。
2. 结论推广：若在 $△ABC$ 中满足 $\sin A(\sin B+\cos B)=\sin C$，则该三角形的内角 $A$ 恒为 $\frac{\pi }{4}$。这是一个极强的定性结论，可以直接作为解此类开放型三角形几何特征题目的临界基准。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 07.02 三角函数的定义与诱导公式
• 11.05 射影定理与内角和性质

类题演练 (Links)