2005-湖南卷理-15 填-定积分的几何意义

本题导读

本题考查利用定积分求平面图形的几何面积。核心考查意图是通过新定义明确“几何面积”与“定积分值”的区别与联系，利用函数的周期性、对称性及平移变换简化面积的叠加计算。

📌【题干】

Question

（2005年湖南卷(理)） 设函数 $f(x)$ 的图象与直线 $x=a,x=b$ 及 $x$ 轴所围成图形的面积称为函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的面积，已知函数 $y=\sin nx$ 在 $\left[0,\frac{\pi }{n}\right]$ 上的面积为 $\frac{2}{n}$ ($n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$).

(1) $y=\sin 3x$ 在 $\left[0,\frac{2\pi }{3}\right]$ 上的面积为$\underline{}$;

(2) $y=\sin (3x-\pi )+1$ 在 $\left[\frac{\pi }{3},\frac{4\pi }{3}\right]$ 上的面积为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析第 (1) 问：明确 $y=\sin 3x$ 的周期为 $\frac{2\pi }{3}$，在指定区间内包含一个正半周期和一个负半周期。由于要求的是几何面积，两部分面积应绝对值相加。
2. 分析第 (2) 问：将函数变形为 $y=1-\sin 3x$，判断其在区间 $\left[\frac{\pi }{3},\frac{4\pi }{3}\right]$ 上的正负性。因恒大于等于 0，其面积等于该区间上的定积分，再拆分为常数函数与正弦函数两部分分别求解。

✅【答案】

Success

(1) $\frac{4}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 求解 $y=\sin 3x$ 在 $\left[0,\frac{2\pi }{3}\right]$ 上的面积： 由题意，当 $n=3$ 时， $y=\sin 3x$ 在一个正半周期 $\left[0,\frac{\pi }{3}\right]$ 上的面积为 $\frac{2}{3}$。 在区间 $\left[0,\frac{2\pi }{3}\right]$ 内，函数图象包含 $\left[0,\frac{\pi }{3}\right]$（图象在 $x$ 轴上方）和 $\left[\frac{\pi }{3},\frac{2\pi }{3}\right]$（图象在 $x$ 轴下方）两个半周期。 根据几何面积的定义，两部分图形与 $x$ 轴围成的面积相等， 故总面积为： $S_1=\frac{2}{3}+\frac{2}{3}=\frac{4}{3}$

(2) 求解 $y=\sin (3x-\pi )+1$ 在 $\left[\frac{\pi }{3},\frac{4\pi }{3}\right]$ 上的面积： 变形函数表达式： $y=-\sin 3x+1=1-\sin 3x$。 因为 $-1\le \sin 3x\le 1$，所以 $1-\sin 3x\ge 0$ 恒成立。 由于函数在整个区间 $\left[\frac{\pi }{3},\frac{4\pi }{3}\right]$ 上非负，其几何面积等价于定积分值： $S_2={\int }_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{4\pi }{3}}(1-\sin 3x)\text{d}x={\int }_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{4\pi }{3}}1\text{d}x-{\int }_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{4\pi }{3}}\sin 3x\text{d}x$ 计算第一部分： ${\int }_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{4\pi }{3}}1\text{d}x=\frac{4\pi }{3}-\frac{\pi }{3}=\pi$ 计算第二部分： ${\int }_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{4\pi }{3}}\sin 3x\text{d}x={\left[-\frac{1}{3}\cos 3x\right]}_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{4\pi }{3}}=-\frac{1}{3}\cos (4\pi )-\left(-\frac{1}{3}\cos \pi \right)=-\frac{1}{3}(1)-\frac{1}{3}(1)=-\frac{2}{3}$ 代入总式得： $S_2=\pi -\left(-\frac{2}{3}\right)=\pi +\frac{2}{3}$

答案：(1) $\frac{4}{3}$ ； (2) $\pi +\frac{2}{3}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：几何面积与定积分的转化。当 $f(x)\ge 0$ 时，面积等于 ${\int }_a^{b}f(x)\text{d}x$；当 $f(x)\le 0$ 时，面积等于 $-{\int }_a^{b}f(x)\text{d}x$。
2. 核心方法：图象法与整体代换法。利用整体平移和上下翻折的对称性，可直接规避复杂的积分上下限代入。
3. 避坑指南：第 (1) 问极易错填为 0。若直接对 $\sin 3x$ 在 $\left[0,\frac{2\pi }{3}\right]$ 求定积分，正负面积抵消结果为 0；但题目明确要求的是“围成图形的面积”，属于几何面积，必须取绝对值进行加和。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题具有微积分初步的背景，考查曲边梯形面积的求法。命题时正值微积分新课标引入阶段，题目通过“新定义”的形式给出标准结论，旨在降低对微积分基本定理公式死记硬背的依赖，突出对图形直观感知能力的考查。
2. 结论推广：对于任意正弦型函数 $y=A\sin (\omega x+\phi )+k$ （$A>0,\omega >0$），其一个单一拱门（半周期）与平衡位置 $y=k$ 围成的几何面积恒为 $\frac{2A}{\omega }$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 20.20 定积分与微积分基本定理

类题演练 (Links)