2005-湖南卷理-13 填-平面向量的数量积

本题导读

本题考查平面向量数量积与圆的弦长问题的交汇应用。核心意图是利用向量减法将几何弦长转化为向量差的模长，通过整体平方求得数量积。

📌【题干】

Question

（2005年湖南卷(理)） 已知直线 $ax+by+c=0$ 与圆 $O:x^2+y^2=1$ 相交于 $A、B$ 两点，且 $|AB|=\sqrt{3}$，则 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定向量模长：由圆的方程可知圆心为原点 $O$，半径 $R=1$，故 $|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|=1$。
2. 建立向量关系：由向量减法的几何意义，弦向量可表示为 $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$。
3. 模的平方展开：对等式两边进行平方运算，代入已知的弦长与模长，即可解出数量积。

✅【答案】

Success

$-\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

因为点 $A,B$ 在圆 $O:x^2+y^2=1$ 上， 所以 $|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|=1$。 根据平面向量的减法运算，有： $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$ 两边平方得： $|\overrightarrow{AB}{|}^2=(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}{)}^2=|\overrightarrow{OB}{|}^2-2\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}+|\overrightarrow{OA}{|}^2$ 将已知条件 $|AB|=\sqrt{3}$ 及模长代入上式： $(\sqrt{3}{)}^2=1^2-2\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}+1^2$ $3=2-2\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}$ 解得： $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=-\frac{1}{2}$ 答案：$-\frac{1}{2}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面向量数量积的代数运算法则，圆的半径作为向量隐含模长的转化。
2. 核心方法：基底模长转化法。将线段长度的计算问题转化为向量模的平方展开。
3. 避坑指南：切忌尝试通过联立方程去求解具体的交点 $A,B$ 的坐标或直线的斜率。此类问题中 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}$ 的值仅由 $△OAB$ 的三边长度决定，与直线在坐标系中的具体位置无关，利用向量整体代换可避免无效计算。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题取材于教材中平面向量数量积与解三角形交汇的常规练习题。命题者通过隐去直线具体参数的方式，引导考生摆脱死板的解析几何坐标计算，侧重考查向量工具性的灵活应用。
2. 结论推广：在半径为 $R$ 的圆 $O$ 中，若弦长 $|AB|=L$，则对应的端点向量数量积满足通用公式：$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=R^2-\frac{L^2}{2}$。本题中 $R=1,L=\sqrt{3}$，代入公式直接得 $1-\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 17.05 直线与圆的位置关系

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