2005-湖南卷理-11 填-分层抽样的定义与性质

本题导读

本题考查统计中的分层抽样与等差数列性质的交叉应用。核心意图是利用分层抽样中各层抽样数与对应总体数成正比的性质，将抽样数的等差关系转化为总体数量的等差关系进行求解。

📌【题干】

Question

（2005年湖南卷(理)） 一工厂生产了某种产品 16800 件，它们来自甲、乙、丙 3 条生产线，为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样，已知甲、乙、丙三条生产线抽取的个体数组成一个等差数列，则乙生产线生产了$\underline{}$件产品.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 理解分层抽样性质：分层抽样中，各层抽取的个体数与该层总体个体数成正比。
2. 转化等差关系：由抽取的个体数成等差数列，利用等差中项性质，推导得出甲、丙两生产线生产的产品总数与乙生产线生产的产品数量之间的比例关系。
3. 列式求解：结合三条生产线的产品总数，列方程求出乙生产线的产品件数。

✅【答案】

Success

5600

✍【详细解析】

Abstract

设甲、乙、丙三条生产线生产的产品件数分别为 $x,y,z$，抽样比为 $k$ ($0<k<1$)。 则三条生产线抽取的个体数分别为 $kx,ky,kz$。 因为 $kx,ky,kz$ 组成一个等差数列， 所以根据等差中项性质有： $2ky=kx+kz$ 因为 $k\ne 0$，两边同除以 $k$ 得： $2y=x+z$ 又因为三条生产线的产品总数为 16800 件，即： $x+y+z=16800$ 将 $x+z=2y$ 代入上式得： $2y+y=16800⟹3y=16800$ 解得 $y=5600$。 即乙生产线生产了 5600 件产品。 答案：5600

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分层抽样的按比例抽样原则，等差数列的等差中项性质 $2a_2=a_1+a_3$。
2. 核心方法：性质转化法。抽样层面的数量规律可以等价转化为总体层面的数量规律。
3. 避坑指南：本题为填空题，切忌引入过多未知数导致计算繁琐。直接利用“等差中项对应的层其总体数量占总数的 $\frac{1}{3}$”这一快捷结论可直接口算：$16800÷3=5600$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于教材中概率与统计初步章节的经典题型，属于典型的“小综合”题，通过引入数列的等差性质打破了单一统计考点的孤立性。
2. 结论推广：在分层抽样中，若若干个层抽取的个体数组成等差数列，则这些层对应的总体个体数也必组成等差数列。若共有奇数 $2m+1$ 个层且其抽样数成等差数列，则中间层（第 $m+1$ 层）的总体数量恒为总体总数的 $\frac{1}{2m+1}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 14.01 随机抽样、平均数与方差
• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)