2005-湖南卷理-09 单-排列组合的应用

本题导读

本题考查排列组合与不定方程的综合应用。利用总分为 0 建立不定方程，通过整除性质分类讨论，再用排列组合公式计算不同得分情况的种数。

📌【题干】

Question

（2005年湖南卷(理)） 4 位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得 100 分，答错得 -100 分；选乙题答对得 90 分，答错得 -90 分. 若 4 位同学的总分为 0，则这 4 位同学不同得分情况的种数是()

A. 48　　　　　　　B. 36　　　　　　　C. 24　　　　　　　D. 18

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设变量：设选甲题答对、答错的人数分别为 $a,b$，选乙题答对、答错的人数分别为 $c,d$。
2. 列出方程组：根据总人数为 4 及总分为 0，列出关于 $a,b,c,d$ 的不定方程组。
3. 分类求解：利用整除特性求出方程组的非负整数解，并对每种情况进行排列组合计数。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

设 4 位同学中，选甲题答对的有 $a$ 人，答错的有 $b$ 人；选乙题答对的有 $c$ 人，答错的有 $d$ 人。 根据题意，可得方程组： $\{\begin{array}{l}a+b+c+d=4\\ 100a-100b+90c-90d=0\end{array}$ 将第二个方程化简得： $10(a-b)=9(d-c)$ 因为 10 与 9 互质，所以 $a-b$ 必须是 9 的倍数。 又因为 $a,b\in \{0,1,2,3,4\}$，所以 $-4\le a-b\le 4$。 在此范围内的 9 的倍数仅有 0，故必有： $a-b=0⟹a=b$ 同理可得： $d-c=0⟹c=d$ 代入 $a+b+c+d=4$ 中，得 $2a+2c=4$，即 $a+c=2$。 由于 $a,c$ 为非负整数，共有以下三种可能的情况：

1. 当 $a=0,c=2$ 时，则 $b=0,d=2$。 即有 2 人选乙题答对（各得 90 分），2 人选乙题答错（各得 -90 分）。 此时 4 位同学不同得分的排列种数为： $\frac{4!}{2!2!}=6$

2. 当 $a=1,c=1$ 时，则 $b=1,d=1$。 即 4 位同学的得分分别为 100 分、-100 分、90 分、-90 分。 此时 4 位同学不同得分的排列种数为： $4!=24$

3. 当 $a=2,c=0$ 时，则 $b=2,d=0$。 即有 2 人选甲题答对（各得 100 分），2 人选甲题答错（各得 -100 分）。 此时 4 位同学不同得分的排列种数为： $\frac{4!}{2!2!}=6$

综上所述，这 4 位同学不同得分情况的种数是 $6+24+6=36$。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：多变量不定方程的整数解分析，相同元素的排列（或组合位置选择）问题。
2. 核心方法：整除分析法。通过提取公因数并利用互质性质，可缩小变量的取值范围。
3. 避坑指南：计算排列数时，第一和第三种情况属于“相同元素”的排列，切勿错用 $4!$ 计算；第二种情况四人的分数互不相同，须全排列。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题将竞赛得分规则与二元一次不定方程、排列组合结合，考查先建模、再分类、后计数的思路。
2. 结论推广：若有 $n$ 位同学，得分选项分别为 $\pm M$ 和 $\pm N$（其中 $\gcd (M,N)=1$），若要求总分为 0，当 $n<\min (M,N)$ 时，必有得 $M$ 分与得 $-M$ 分的人数相等，得 $N$ 分与得 $-N$ 分的人数相等。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合
• 22.02 排列组合 16 种核心解题模型与策略

类题演练 (Links)