2005-湖南卷理-08 单-集合的交集运算

本题导读

本题考查集合运算与充分条件的综合应用。核心意图是利用不等式解出集合区间，再根据充分条件的逻辑关系建立关于参数的不等式组，从而确定参数的取值范围。

📌【题干】

Question

（2005年湖南卷(理)） 集合 $A=\left\{x|\frac{x-1}{x+1}<0\right\}$, $B=\{x\mid |x-b|<a\}$, 若“$a=1$”是“$A\cap B\ne \varnothing$”的充分条件，则 $b$ 的取值范围是()

A. $-2\le b<0$　　B. $0<b\le 2$　　C. $-3<b<-1$　　D. $-1\le b<2$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 化简集合 $A$ 与 $B$：解分式不等式确定集合 $A$；在 $a=1$ 的条件下解绝对值不等式确定集合 $B$ 的区间边界。
2. 转化逻辑条件：根据“$a=1$”是“$A\cap B\ne \varnothing$”的充分条件，可知当 $a=1$ 时，两集合的交集必不为空。
3. 建立不等式组求解：利用两开区间相交的边界条件列出关于 $b$ 的不等式组，求出 $b$ 的最大取值区间，再比对选项。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

解分式不等式 $\frac{x-1}{x+1}<0$，等价于： $(x-1)(x+1)<0$ 解得 $-1<x<1$，即 $A=(-1,1)$。 当 $a=1$ 时，解绝对值不等式 $|x-b|<1$，得： $b-1<x<b+1$ 即 $B=(b-1,b+1)$。 because “$a=1$”是“$A\cap B\ne \varnothing$”的充分条件， 所以当 $a=1$ 时，集合 $A$ 与 $B$ 的交集不能为空集，即区间 $(-1,1)$ 与 $(b-1,b+1)$ 必须有公共部分。 根据两开区间相交的条件，需满足： $\{\begin{array}{l}b-1<1\\ b+1>-1\end{array}⟹\{\begin{array}{l}b<2\\ b>-2\end{array}$ 解得 $-2<b<2$。 分析各选项： A. 当 $b=-2$ 时， $B=(-3,-1)$，此时 $A\cap B=\varnothing$，不合题意； B. 当 $b=2$ 时， $B=(1,3)$，此时 $A\cap B=\varnothing$，不合题意； C. 当 $b=-2.5$ 时， $B=(-3.5,-1.5)$，此时 $A\cap B=\varnothing$，不合题意； D. 区间 $[-1,2)$ 是 $(-2,2)$ 的真子集，其中任意 $b$ 值均能使 $A\cap B\ne \varnothing$ 成立。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分式不等式与绝对值不等式的有界化简，集合交集非空的临界条件。
2. 核心方法：区间相交性质法。两开区间 $(c,d)$ 与 $(e,f)$ 相交的充要条件是 $c<f$ 且 $e<d$。
3. 避坑指南：部分考生解得 $-2<b<2$ 后发现无完全对应选项而产生困惑。需注意，若 $p⟹q$，则满足 $p$ 的参数集合可以是使 $q$ 成立的理论全集的任意子集。利用边界值（如 $b=-2,2$）进行排除是快速解题的有效策略。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题改编自教材中集合基本运算与简易逻辑用语的经典习题。命题者引入双参数 $a,b$，将代数不等式的有界性问题转化为几何区间的相对运动问题，深化了对逻辑充要性的考查。
2. 结论推广：若集合 $A=(c,d)$， $B=(b-a,b+a)$ ($a>0$)，则 $A\cap B\ne \varnothing$ 的充要条件为 $c-a<b<d+a$。若“$a=a_0$”是其充分条件，则参数 $b$ 的取值范围必为区间 $(c-a_0,d+a_0)$ 的子集。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01 集合的含义、表示与基本运算
• 03.04 绝对值不等式及排序不等式
• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)