2005-湖南卷理-07 单-双曲线的准线与渐近线

本题导读

本题考查双曲线的几何性质。核心意图是通过联立准线与渐近线方程求出交点坐标，利用三角形面积公式建立参数 $a,b$ 的关系，从而确定渐近线的夹角。

📌【题干】

Question

（2005年湖南卷(理)） 已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>0,b>0$) 的右焦点为 $F$，右准线与一条渐近线交于点 $A$，$△OAF$ 的面积为 $\frac{a^2}{2}$ ($O$ 为原点)，则两条渐近线的夹角为()

A. $30^{\circ }$　　　　　　　B. $45^{\circ }$　　　　　　　C. $60^{\circ }$　　　　　　　D. $90^{\circ }$

🔍【思路分析】

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1. 确定关键几何要素的方程：写出右焦点 $F$ 的坐标、右准线方程及渐近线方程。
2. 求解交点坐标：联立右准线与其中一条渐近线方程，求出点 $A$ 的横、纵坐标。
3. 利用面积成式求解参数：以 $OF$ 为底，点 $A$ 的纵坐标绝对值为高表示 $△OAF$ 的面积，结合已知条件求得 $a$ 与 $b$ 的定量关系，进而确定夹角。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

设双曲线的半焦距为 $c$。 则右焦点为 $F(c,0)$，得 $OF=c$。 右准线方程为 $x=\frac{a^2}{c}$，其中一条渐近线方程为 $y=\frac{b}{a}x$。 联立两方程： $\{\begin{array}{l}x=\frac{a^2}{c}\\ y=\frac{b}{a}x\end{array}⟹\{\begin{array}{l}{x}_A=\frac{a^2}{c}\\ y_A=\frac{ab}{c}\end{array}$ 则 $△OAF$ 以 $OF$ 为底，点 $A$ 到 $x$ 轴的距离 $|y_A|$ 为高，其面积为： $S_{△OAF}=\frac{1}{2}\cdot OF\cdot |y_A|=\frac{1}{2}\cdot c\cdot \frac{ab}{c}=\frac{1}{2}ab$ 由题意得： $\frac{1}{2}ab=\frac{a^2}{2}⟹b=a$ 因为 $b=a$，所以该双曲线为等轴双曲线。 其渐近线方程为 $y=\pm x$，两条渐近线互相垂直，故其夹角为 $90^{\circ }$。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线的渐近线方程 $y=\pm \frac{b}{a}x$ 和准线方程 $x=\pm \frac{a^2}{c}$ 的交点性质。
2. 核心方法：坐标解析法。将几何面积条件转化为焦点弦或底高对应的代数坐标运算。
3. 避坑指南：注意两条渐近线夹角的定义。两条相交直线的夹角范围是 $[0^{\circ },90^{\circ }]$。本题由于 $b=a$ 导致两条渐近线垂直，夹角直接为 $90^{\circ }$；若求出 $\frac{b}{a}=\sqrt{3}$，渐近线倾斜角为 $60^{\circ }$ 和 $120^{\circ }$，其夹角应为 $60^{\circ }$ 而非 $120^{\circ }$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自对双曲线特征三角形几何特性的考查。在双曲线经典结论中，焦点到渐近线的距离为 $b$，原点到准线与渐近线交点的距离为 $a$，由此衍生出丰富的面积与比例关系。
2. 结论推广：对于双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，其右准线与两条渐近线分别交于 $A,B$ 两点，若右焦点为 $F$，则以 $AB$ 为直径的圆必过焦点 $F$，且 $△OAB$ 的面积恒为 $\frac{a^{2}b}{c}$， $△OAF$ 的面积恒为 $\frac{1}{2}ab$。该结论与离心率 $e$ 无关，具有普适性。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略

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