2005-湖南卷理-01 单-函数的周期性

本题导读

本题考查抽象函数性质的综合应用。核心考查意图在于利用函数的周期性与奇偶性，将未知自变量转化到已知区间，从而构造关于参数的分式不等式进行求解。

📌【题干】

Question

（2005年湖南卷(理)） 设 $f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的以 $3$ 为周期的奇函数. 若 $f(1)>1$， $f(2)=\frac{2a-3}{a+1}$，则 $a$ 的取值范围是()

A. $(-1,\frac{2}{3})$　　　　　　　　　　　　　　　　B. $(-\infty ,-1)\cup (\frac{2}{3},+\infty )$

C. $(-\frac{2}{3},1)$　　　　　　　　　　　　　　　　D. $(-\infty ,-\frac{2}{3})\cup (1,+\infty )$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 运用周期性转化自变量：由周期为 $3$ 可知 $f(2)=f(2-3)=f(-1)$。
2. 运用奇偶性转化自变量：由奇函数定义可知 $f(-1)=-f(1)$，从而建立 $f(2)$ 与 $f(1)$ 的等量关系。
3. 构造并求解不等式：由 $f(1)>1$ 导出 $f(2)<-1$，代入含参分式构造分式不等式求解。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

because $f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的以 $3$ 为周期的奇函数， 所以 $f(2)=f(2-3)=f(-1)=-f(1)$。 又因为 $f(1)>1$， 所以 $-f(1)<-1$，即 $f(2)<-1$。 将 $f(2)=\frac{2a-3}{a+1}$ 代入上式，得： $\frac{2a-3}{a+1}<-1$ 移项通分得： $\frac{2a-3}{a+1}+1<0⟹\frac{3a-2}{a+1}<0$ 等价于： $(3a-2)(a+1)<0$ 解得 $-1<a<\frac{2}{3}$。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抽象函数的周期性 $f(x+T)=f(x)$ 与奇偶性 $f(-x)=-f(x)$ 的交汇应用。
2. 核心方法：利用 $f(x_1)=\pm f(x_2)$ 的对称转化思想，将大自变量向原点附近的目标区间转化。
3. 避坑指南：求解分式不等式 $\frac{3a-2}{a+1}<0$ 时，切勿盲目直接去分母（因分母正负未定），必须移项通分转化为因式乘积式 $(3a-2)(a+1)<0$ 求解，避免漏解或错解。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于教材中“函数特征与性质综合”的基础练习题。命题者通过隐去具体函数解析式，改为抽象函数性质组合，并在线性边界上引入分式含参变量，深化了对代数恒等变形与逻辑推理能力的考查。
2. 结论推广：若 $f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的奇函数且周期为 $T$，则对任意 $x\in \mathbf{R}$，有 $f(x+\frac{T}{2})=-f(x)$ 不一定成立（需看具体性质），但必有 $f(x)=-f(T-x)$。进一步地，若已知 $f(x_1)>m$，则 $f(kT\pm x_1)$ 的范围可通过符号规则直接由 $m$ 的界限给出。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)