2005-湖南卷文-17 解-三角恒等变换求三角形内角

本题导读

本题考查三角形中三角恒等变换求内角。

📌【题干】

Question

（2005年湖南卷(文)） 已知在 $△ABC$ 中，$\sin A(\sin B+\cos B)-\sin C=0$，$\sin B+\cos 2C=0$，求角 $A$、$B$、$C$ 的大小．

🔍【思路分析】

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1. $\sin C=\sin (A+B)$ 代入第一式，整理出 $\sin B(\sin A-\cos A)=0$。
2. $\sin B>0$，得 $\sin A=\cos A$，$A=\frac{\pi }{4}$。
3. $B+C=\frac{3\pi }{4}$，代入第二式分两支解 $C$。

✅【答案】

Success

$A=\frac{\pi }{4}$，$B=\frac{\pi }{3}$，$C=\frac{5\pi }{12}$（即 $A=45^{\circ }$，$B=60^{\circ }$，$C=75^{\circ }$）．

✍【详细解析】

Abstract

因为 $A$、$B$、$C$ 是三角形内角，$A+B+C=\pi$，故 $\sin C=\sin (A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B$．代入第一式：$\sin A\sin B+\sin A\cos B=\sin A\cos B+\cos A\sin B$，即 $\sin B(\sin A-\cos A)=0$．因 $0<B<\pi$，$\sin B>0$，所以 $\sin A=\cos A$，得 $A=\frac{\pi }{4}$，于是 $B+C=\frac{3\pi }{4}$．由第二式 $\sin B=-\cos 2C=\sin \left(2C-\frac{\pi }{2}\right)$，而 $B=\frac{3\pi }{4}-C$，即 $\sin \left(\frac{3\pi }{4}-C\right)=\sin \left(2C-\frac{\pi }{2}\right)$．故 $\frac{3\pi }{4}-C=2C-\frac{\pi }{2}+2k\pi$ 或 $\frac{3\pi }{4}-C=\pi -\left(2C-\frac{\pi }{2}\right)+2k\pi$（$k\in \mathbb{Z}$）．第二支给出 $C=\frac{3\pi }{4}+2k\pi$，不满足 $0<C<\frac{3\pi }{4}$，舍去；第一支给出 $C=\frac{5\pi }{12}-\frac{2k\pi }{3}$，结合 $0<C<\frac{3\pi }{4}$ 只有 $k=0$，得 $C=\frac{5\pi }{12}$，于是 $B=\frac{3\pi }{4}-\frac{5\pi }{12}=\frac{\pi }{3}$．所以 $A=45^{\circ }$，$B=60^{\circ }$，$C=75^{\circ }$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角恒等变换求三角形内角

核心方法：$\sin C=\sin (A+B)$ 代入整理出 $\sin B(\sin A-\cos A)=0\Rightarrow A=\frac{\pi }{4}$；再解 $B$、$C$

避坑指南：$\sin B>0$ 可约去；$A=\frac{\pi }{4}$ 后 $B+C=\frac{3\pi }{4}$，用 $\sin \left(\frac{3\pi }{4}-C\right)=-\cos 2C$ 解出 $C=\frac{5\pi }{12}$——第二支 $C=\frac{3\pi }{4}$ 越界舍去

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版必修 5 解三角形

结论推广：$A=\frac{\pi }{4}$，$B=\frac{\pi }{3}$，$C=\frac{5\pi }{12}$（$45^{\circ },60^{\circ },75^{\circ }$）

方法推广：$\sin C=\sin (A+B)$ 展开消元是”内角和代入”标准套路；第二方程用 $\sin$ 差角与 $-\cos 2C$ 互化注意两支讨论

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理

类题演练 (Links)

• 2020-新课标II文-17 解-解三角形
• 2017-全国卷III理-17 解-解三角形
• 2012-大纲卷文-17 解-等差内角与正弦定理