2005-湖南卷文-14 填-反函数与中心对称

本题导读

本题考查反函数与中心对称，以及对称性迁移。

📌【题干】

Question

（2005年湖南卷(文)） 设函数 $f(x)$ 的图象关于点 $(1,2)$ 对称，且存在反函数 $f^{-1}(x)$，$f(4)=0$，则 $f^{-1}(4)=$ $\underline{}$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 关于 $(1,2)$ 对称：$(x,y)\to (2-x,4-y)$。
2. 由 $f(4)=0$ 得 $f(2-4)=4-0$，即 $f(-2)=4$。
3. $f^{-1}(4)$ 即解 $f(x)=4$，得 $x=-2$。

✅【答案】

Success

$-2$

✍【详细解析】

Abstract

函数 $f(x)$ 的图象关于点 $(1,2)$ 对称，即图象上点 $(x,y)$ 的对称点 $(2-x,4-y)$ 也在图象上．由 $f(4)=0$，得 $f(2-4)=f(-2)=4-0=4$，即 $f(-2)=4$．由反函数定义，$f^{-1}(4)=-2$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：反函数与中心对称

核心方法：关于 $(1,2)$ 对称 $\Rightarrow f(1+x)+f(1-x)=4$；$f(4)=0\Rightarrow f^{-1}(0)=4$ 结合对称迁移

避坑指南：反函数值 $f^{-1}(4)$ 是解方程 $f(x)=4$；由对称性 $f(4)=0$ 与 $f(-2)=4$ 互推——对称点 $(x,y)\to (2-x,4-y)$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版必修 1 反函数与对称

结论推广：$f$ 关于 $(1,2)$ 对称且 $f(4)=0\Rightarrow f(-2)=4\Rightarrow f^{-1}(4)=-2$

方法推广：中心对称 $(x,y)\to (2-x,4-y)$：已知 $f(a)=b$ 立得 $f(2-a)=4-b$——反函数求值即解方程

🔗【关联脉络】

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