2005-湖南卷文-08 单-双曲线渐近线夹角

本题导读

本题考查双曲线的准线、渐近线及离心率的综合运用。

📌【题干】

Question

（2005年湖南卷(文)） 已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$）的右焦点为 $F$，右准线与一条渐近线交于点 $A$，$△OAF$ 的面积为 $\frac{a^2}{2}$（$O$ 为原点），则两条渐近线的夹角为()

A. $30^{\circ }$　　　　　　　B. $45^{\circ }$　　　　　　　C. $60^{\circ }$　　　　　　　D. $90^{\circ }$

🔍【思路分析】

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1. 准线 $x=\frac{a^2}{c}$，渐近线 $y=\frac{b}{a}x$，交点 $A\left(\frac{a^2}{c},\frac{ab}{c}\right)$。
2. $S_{△OAF}=\frac{1}{2}\cdot |OF|\cdot y_A=\frac{1}{2}c\cdot \frac{ab}{c}=\frac{ab}{2}=\frac{a^2}{2}$，得 $b=a$。
3. 渐近线 $y=\pm x$ 夹角 $90^{\circ }$。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

右准线 $x=\frac{a^2}{c}$，与渐近线 $y=\frac{b}{a}x$ 的交点为 $A\left(\frac{a^2}{c},\frac{ab}{c}\right)$．$△OAF$ 中，以 $OF=c$ 为底，高为 $y_A=\frac{ab}{c}$，故 $S=\frac{1}{2}\cdot c\cdot \frac{ab}{c}=\frac{ab}{2}$．由 $\frac{ab}{2}=\frac{a^2}{2}$ 得 $b=a$．此时两渐近线为 $y=\pm x$，互相垂直，夹角为 $90^{\circ }$，选 D．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线渐近线夹角

核心方法：准线 $x=\frac{a^2}{c}$ 与渐近线 $y=\frac{b}{a}x$ 交点代入面积 $=\frac{a^2}{2}$ 得 $b=c$，夹角 $90^{\circ }$

避坑指南：渐近线夹角取锐角或直角；$b=c⟺e=\sqrt{2}$ 时两渐近线垂直——别用 $b/a$ 直接当倾角忘记比较另一条

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版选修 1-1 双曲线

结论推广：交点 $\left(\frac{a^2}{c},\frac{ab}{c}\right)$，$S=\frac{a^{2}b}{2c}=\frac{a^2}{2}\Rightarrow b=c$，渐近线 $y=\pm x$ 夹角 $90^{\circ }$

方法推广：准线与渐近线交点是常构型；$b=c⟺e=\sqrt{2}$，两渐近线垂直（等轴双曲线）

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2012-大纲卷(理)-08 单-双曲线
• 2010-大纲Ⅰ文-08 单-双曲线焦点三角形
• 2009-大纲Ⅱ文-08 单-双曲线渐近线切圆