2005-湖南卷文-07 单-截距相同直线的计数

本题导读

本题考查直线方程与排列组合的综合计数。

📌【题干】

Question

（2005年湖南卷(文)） 设直线的方程是 $Ax+By=0$，从 1，2，3，4，5 这五个数中每次取两个不同的数作为 $A$、$B$ 的值，则所得不同直线的条数是()

A. $20$　　　　　　　B. $19$　　　　　　　C. $18$　　　　　　　D. $16$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 有序选取 ${\mathrm{A}}_5^2=20$。
2. 同一条直线须 $\frac{A_1}{B_1}=\frac{A_2}{B_2}$，即成比例对。
3. 五数中成比例且不同的对：$(1,2)$ 与 $(2,4)$、$(1,3)$ 与 $(3,9)$？$9$ 不在——查 $(2,4)$ 与 $(1,2)$ 一对，扣 1 条。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

从五个数中每次取两个不同的数作有序排列，共 ${\mathrm{A}}_5^2=20$ 种．但直线 $Ax+By=0$ 由比值 $\frac{A}{B}$ 唯一确定，比值相同的两组 $(A,B)$ 对应同一直线．五数中比值相等的对：$(1,2)$ 与 $(2,4)$（比值均为 $\frac{1}{2}$）、$(2,1)$ 与 $(4,2)$（比值均为 $2$），共扣除 2 条重复．故不同直线 $20-2=18$ 条，选 C．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：截距相同直线的计数

核心方法：五数选二排列 ${\mathrm{A}}_5^2=20$，减去 $A=B$ 不可能但 $A+B=0$ 不存在——重复直线只差 $2x+3y$ 与比例

避坑指南：不同直线须合并同比例系数对：$1\times 2$ 与 $2\times 4$、$1\times 3$ 与 $3\times 9$ 等成比例——$\frac{A_1}{B_1}=\frac{A_2}{B_2}$ 才同线

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版必修 2 直线方程

结论推广：${\mathrm{A}}_5^2=20$ 中成比例对合并：$(1,2)/(2,4)$、$(1,3)/(3,9)$、$(2,3)$? 无——实减 1 对 $(2,4)$ 与 $(1,2)$ 等

方法推广：过原点直线由 $(A,B)$ 与 $(-A,-B)$ 不可能（数取自 1-5），但比例相同则同线——枚举比例对防漏

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

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类题演练 (Links)

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