2005-湖南卷文-05 单-递推数列的周期性

本题导读

本题考查递推数列的周期性。

📌【题干】

Question

（2005年湖南卷(文)） 已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=0$，$a_{n+1}=\frac{a_n-\sqrt{3}}{\sqrt{3}{a}_n+1}$（$n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$），则 $a_{20}=$()

A. $0$　　　　　　　B. $-\sqrt{3}$　　　　　　　C. $\sqrt{3}$　　　　　　　D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $a_2=\frac{0-\sqrt{3}}{0+1}=-\sqrt{3}$。
2. $a_3=\frac{-\sqrt{3}-\sqrt{3}}{-\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}+1}=\frac{-2\sqrt{3}}{-2}=0=a_1$。
3. 周期 3，$a_{20}=a_2=-\sqrt{3}$（$20=3\times 6+2$）。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

$a_2=\frac{a_1-\sqrt{3}}{\sqrt{3}{a}_1+1}=\frac{-\sqrt{3}}{1}=-\sqrt{3}$；$a_3=\frac{-\sqrt{3}-\sqrt{3}}{-\sqrt{3}\times \sqrt{3}+1}=\frac{-2\sqrt{3}}{-2}=0=a_1$．故 $\{a_n\}$ 是周期为 3 的数列，$20=3\times 6+2$，$a_{20}=a_2=-\sqrt{3}$，选 B．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：递推数列的周期性

核心方法：递推式是旋转 $\tan$ 差角结构，算出 $a_2=-\sqrt{3}$、$a_3=0$ 周期 3，$a_{20}=a_2=-\sqrt{3}$

避坑指南：$a_{n+1}=\frac{a_n-\sqrt{3}}{\sqrt{3}{a}_n+1}$ 对应 $\tan (\alpha -60^{\circ })$——别硬算 20 项，找周期

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版必修 5 递推数列

结论推广：$a_2=-\sqrt{3}$、$a_3=0$ 与 $a_1$ 同，周期 3；$a_{20}=a_2=-\sqrt{3}$

方法推广：递推式形如 $\frac{x-\sqrt{3}}{\sqrt{3}x+1}$ 联想正切差角——出现循环即找周期

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.06 斐波那契数列全总结

类题演练 (Links)

• 2020-新课标I文-16 填-数列求和
• 2014-新课标Ⅱ文-16 填-数列周期
• 2009-大纲卷I理-20 解-数列