2005-湖北卷理-15 填-等差中项的性质

本题导读

本题核心考查等比数列与等差数列的综合性质。利用等差中项的定义列出关于前 $n$ 项和的代数方程，再借助 $S_n-S_{n-1}=a_n$ 的核心关系将前 $n$ 项和转化为具体的等比通项，通过消去公因式快速解出公比 $q$ 的值。

📌【题干】

Question

（2005年湖北卷(理)） 15. 设等比数列 $\{a_n\}$ 的公比为 $q$，前 $n$ 项和为 $S_n$，若 $S_{n+1},S_n,S_{n+2}$ 成等差数列，则 $q$ 的值为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用等差中项列方程：根据三数成等差数列的充要条件，中间项的 2 倍等于两端项的和，得到 $2S_n=S_{n+1}+S_{n+2}$。
2. 移项差值化简：将方程变形为项数相邻的差值形式，如 $S_n-S_{n+1}=S_{n+2}-S_n$。
3. 转化为通项公式：利用等比数列前 $n$ 项和与通项的递推性质，将 $S_{n+1}-S_n$ 转化为 $a_{n+1}$，将 $S_{n+2}-S_n$ 转化为 $a_{n+1}+a_{n+2}$。
4. 约分求公比：利用等比数列通项公式 $a_n=a_1{q}^{n-1}$ 带入消去共同项，求解关于 $q$ 的一元方程。

✅【答案】

Success

$-2$

✍【详细解析】

Abstract

解：

• 第一步：依据等差中项列出方程并变形 $\because S_{n+1},S_n,S_{n+2}$ 成等差数列， $\therefore 2S_n=S_{n+1}+S_{n+2}$ 将式子进行移项调整，使得相邻项组合： $S_n-S_{n+1}=S_{n+2}-S_n$ $⟹-(S_{n+1}-S_n)=(S_{n+2}-S_{n+1})+(S_{n+1}-S_n)$ $⟹2(S_{n+1}-S_n)+(S_{n+2}-S_{n+1})=0\text{(1)}$

• 第二步：将前 $n$ 项和的差转化为通项表达式 根据前 $n$ 项和与通项公式的性质，可知： $S_{n+1}-S_n=a_{n+1}$ $S_{n+2}-S_{n+1}=a_{n+2}$ 将这两组关系代入 ① 式中，可将关于和的方程完全转化为关于项的方程： $2a_{n+1}+a_{n+2}=0$

• 第三步：引入等比数列通项公式求解公比 $q$ 根据等比数列的定义，有 $a_{n+2}=a_{n+1}\cdot q$。 代入上式中： $2a_{n+1}+a_{n+1}\cdot q=0$ 提取公因式得： $a_{n+1}(2+q)=0$ $\because \{a_n\}$ 是等比数列， $\therefore$ 其任意一项均不可能为 0，即 $a_{n+1}\ne 0$。 两边同时除以 $a_{n+1}$，得： $2+q=0⟹q=-2$

故答案为 $-2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差数列中项性质（ $2b=a+c$ ）、数列基本纽带公式 $S_n-S_{n-1}=a_n$ ($n⩾2$)、等比数列通项性质。
2. 核心方法：相邻项移项作差法（避免直接使用繁琐的求和公式公式化简）。
3. 避坑指南：

• 避免盲目代入等比数列求和公式 $S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$。如果直接将三个复杂的求和公式代入 $2S_n=S_{n+1}+S_{n+2}$ 中，会堆积大量的指数项与分式，运算极其繁琐且需要额外分类讨论 $q=1$ 的情况。通过移项作差直接化为通项，是处理此类求和项成等差/等比问题的最优技巧。
• 不要漏掉验证 $a_{n+1}\ne 0$ 的严密性步骤。在最后一步消去 $a_{n+1}$ 时，必须明确说明等比数列的这项不为 0，以确保逻辑的无懈可击。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源自 2005 年湖北高考数学（理）第 15 题，将两种最基本的数列模型（等差与等比）通过前 $n$ 项和这一中介进行交叉结合，考查基础公式的应变与化简能力。
2. 结论推广: 一般地，若等比数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和满足 $S_{n+m},S_n,S_{n+k}$ 成等差数列，利用相同的方法移项作差，可得通用方程： $2S_n=S_{n+m}+S_{n+k}⟹(S_{n+m}-S_n)+(S_{n+k}-S_n)=0$。展开为通项后可直接消去公因式 $a_{n+1}$，化为关于公比 $q$ 的一元高次方程进行求解，结论与首项 $a_1$ 及项数 $n$ 的选择均完全无关。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 19.03 数列通项公式求法全攻略
• 19.02 等比数列全总结

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