2005-湖北卷理-13 填-平面向量的坐标加法运算

本题导读

本题核心考查平面向量的坐标加法及其模的代数计算方法。通过将向量的和坐标化，结合模长不超过 5 的不等关系建立关于 $k$ 的一元二次不等式，从而求解出 $k$ 的取值范围。

📌【题干】

Question

（2005年湖北卷(理)） 13. 已知向量 $\vec{a}=(-2,2)$, $\vec{b}=(5,k)$.若 $|\vec{a}+\vec{b}|$ 不超过 5，则 $k$ 的取值范围是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求出和向量坐标：根据平面向量坐标加法原则“横坐标加横坐标，纵坐标加纵坐标”，算出 $\vec{a}+\vec{b}$ 的对应坐标。
2. 列出模长不等式：利用向量模长坐标计算公式 $|\vec{x}|=\sqrt{x_1^2+x_2^2}$，表示出 $|\vec{a}+\vec{b}|$ 并令其 $⩽5$。
3. 求解不等式：两边平方消除根号，解出关于 $k$ 的一元二次不等式，得出最终区间。

✅【答案】

Success

$[-6,2]$ （或 $-6⩽k⩽2$）

✍【详细解析】

Abstract

解：

• 第一步：计算和向量 $\vec{a}+\vec{b}$ 的坐标 已知 $\vec{a}=(-2,2)$， $\vec{b}=(5,k)$。 则和向量为： $\vec{a}+\vec{b}=(-2+5,2+k)=(3,2+k)$

• 第二步：根据模长限制列出不等式 根据向量模的坐标公式，有： $|\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{3^2+(2+k{)}^2}=\sqrt{9+(2+k{)}^2}$ 题目要求模长“不超过 5”，即： $\sqrt{9+(2+k{)}^2}⩽5$

• 第三步：平方化简并求解 $k$ 的取值范围 两边同时平方得： $9+(2+k{)}^2⩽25$ $(2+k{)}^2⩽16$ 对两边开方取夹心区间： $-4⩽2+k⩽4$ 各部分同时减去 2，解得： $-6⩽k⩽2$

故答案为 $[-6,2]$ （或 $-6⩽k⩽2$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面向量坐标运算规则、向量模长公式的应用。
2. 核心方法：两边平方法。
3. 避坑指南：

• 切勿混淆“不超过”的数学含义。“不超过”在数学中对应的是小于或等于号（ $⩽$ ），如果误丢掉等号或者写成了小于号，会使区间端点开闭状态出错而导致扣分。
• 展开完全平方公式时注意项数。化简 $(2+k{)}^2⩽16$ 时，若直接展开为 $k^2+4k+4⩽16⟹k^2+4k-12⩽0$，采用十字相乘法 $(k+6)(k-2)⩽0$ 同样可以解出结果，但直接开方更为快捷且不易出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源自 2005 年湖北高考数学（理）第 13 题，作为填空题的第一题，属于典型的基础送分题，主要考查解析几何与向量章节最核心的坐标算力。
2. 结论推广: 设 $\vec{a}=(x_1,y_1)$， $\vec{b}=(x_2,y_2)$ 为已知向量，其中某一个坐标为未知数 $k$，若限制 $|\vec{a}+\vec{b}|⩽R$，则其代数本质代表以 $(-x_1,-y_1)$ 为圆心， $R$ 为半径的圆盘可行域。本题在坐标轴上对应一条垂直（或水平）截线段的区间投影。

🔗【关联脉络】

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• 09.04 平面向量的坐标运算

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