2005-湖北卷理-11 单-分层抽样的原理与计算

本题导读

本题核心考查统计学中系统抽样与分层抽样这两种基本抽样方法的特征。系统抽样要求抽取的号码构成以分段间隔为公差的等差数列；分层抽样要求各层抽取的样本数与该层总人数成正比例。通过对四种号码情况进行数学特征检验即可得出结论。

📌【题干】

Question

（2005年湖北卷(理)） 11. 某初级中学有学生 270 人，其中一年级 108 人，二、三年级各 81 人，现要利用抽样方法抽取 10 人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为 1, 2, $\cdots$, 270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号 1, 2, $\cdots$, 270，并将整个编号依次分为 10 段. 如果抽得号码有下列四种情况： ① 7, 34, 61, 88, 115, 142, 169, 196, 223, 250; ② 5, 9, 100, 107, 111, 121, 180, 195, 200, 265; ③ 11, 38, 65, 92, 119, 146, 173, 200, 227, 254; ④ 30, 57, 84, 111, 138, 165, 192, 219, 246, 270; 关于上述样本的下列结论中，正确的是 ()

A. ②、③都不能为系统抽样　　　　　　　B. ②、④都不能为分层抽样

C. ①、④都可能为系统抽样　　　　　　　D. ①、③都可能为分层抽样

🔍【思路分析】

破题导航

1. 系统抽样特征检验：总人数 270人，抽取 10人，分段间隔（步长）为 $270÷10=27$。因此，若是系统抽样，所抽号码必须构成以 27 为公差的等差数列。逐一检查 ①、②、③、④ 是否满足此条件。
2. 分层抽样特征检验：

• 确定一年级、二年级、三年级的编号区间范围：
  • 一年级：$1\sim 108$
  • 二年级：$109\sim 189$
  • 三年级：$190\sim 270$
• 计算各年级理论应抽取的样本人数：按照比例，一年级抽 4人，二、三年级各抽 3人。
• 统计 ①、②、③、④ 在这三个区间内的实际人数分布是否符合 $(4,3,3)$，从而判定是否可以作为分层抽样样本。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

解：

• 第一步：系统抽样判定 总人数 $N=270$，样本容量 $n=10$。 分段间隔为 $k=\frac{270}{10}=27$。 系统抽样的样本号码必须是等距的，即构成以 27 为公差的等差数列。
• 检查 ①：$34-7=27$, $61-34=27$, $\cdots$, 公差为 27。可能为系统抽样。
• 检查 ②：$9-5=4\ne 27$。不能为系统抽样。
• 检查 ③：$38-11=27$, $65-38=27$, $\cdots$, 公差为 27。可能为系统抽样。
• 检查 ④：$57-30=27$, $84-57=27$, $\cdots$, $270-246=24\ne 27$（最后一项间距不对）。不能为系统抽样。

综合上述，可以作为系统抽样的只有 ① 和 ③。因此 (A)、(C) 错误。

• 第二步：分层抽样判定 根据分层抽样规则，各层抽样比应当相等。 抽样比为 $\frac{10}{270}=\frac{1}{27}$。
• 一年级（编号 $1\sim 108$）应抽取人数：$108\times \frac{1}{27}=4$ 人。
• 二年级（编号 $109\sim 189$）应抽取人数：$81\times \frac{1}{27}=3$ 人。
• 三年级（编号 $190\sim 270$）应抽取人数：$81\times \frac{1}{27}=3$ 人。 也就是说，符合分层抽样的样本在三个区间 $[1,108]$、$[109,189]$、$[190,270]$ 上的频数分布必须恰好为 $(4,3,3)$。

下面统计各组号码在三个区间的人数：

• 对样本 ①：
  • 落在 $[1,108]$ 内的有：7, 34, 61, 88（共 4 个）
  • 落在 $[109,189]$ 内的有：115, 142, 169（共 3 个）
  • 落在 $[190,270]$ 内的有：196, 223, 250（共 3 个） 符合 $(4,3,3)$ 的比例分布，可能为分层抽样。
• 对样本 ③：
  • 落在 $[1,108]$ 内的有：11, 38, 65, 92（共 4 个）
  • 落在 $[109,189]$ 内的有：119, 146, 173（共 3 个）
  • 落在 $[190,270]$ 内的有：200, 227, 254（共 3 个） 符合 $(4,3,3)$ 的比例分布，可能为分层抽样。

综上可知，① 和 ③ 都可能为分层抽样。

故 (D) 选项正确。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：系统抽样等长间隔的数学机理（等差数列模型）、分层抽样中每层样本量与总体层容量成正比。
2. 核心方法：频数区间清点法、等差数列公差验证法。
3. 避坑指南：

• 不要漏掉检验每一项的间距。在检验样本 ④ 时，前几项的差值 $57-30=27,84-57=27$ 会给人以它是系统抽样的错觉，但最后一项 $270-246=24$，直接打破了等差规律，如果不看完整组数据容易产生误判。
• 找准各年级的编号边界。二年级人数是 81人，所以其起始编号为 $108+1=109$，结束编号为 $108+81=189$。区间端点划分准确才能正确数出样本点数。

📖【试题探源与推广】

Tip

变式练习：围绕「分层抽样的原理与计算」的核心方法，改变条件或参数重新求解，检验对该知识点的迁移运用。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 14.01 随机抽样、平均数与方差

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