2005-湖北卷理-10 单-线面平行与面面平行的

本题导读

本题核心考查立体几何中线面平行的综合判定，是一道构思极其精巧、综合性极强的空间想象能力压轴题。通过空间向量基底法或坐标分析法，逐一判断各个备选点构成平面后，与棱柱 9 条棱的平行关系，找出恰好有 2 条棱平行的点。

📌【题干】

Question

（2005年湖北卷(理)） 10. 如图，在三棱柱 $ABC-A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ 中，点 $E、F、H、K$ 分别为 $A{C}^{\prime }、C{B}^{\prime }、A^{\prime }B、B^{\prime }{C}^{\prime }$ 的中点， $G$ 为 $△ABC$ 的重心. 从 $K、H、G、B^{\prime }$ 中取一点作为 $P$，使得该棱柱恰有 2 条棱与平面 $PEF$ 平行，则 $P$ 为 ()

A. $K$　　　　　　　B. $H$　　　　　　　C. $G$　　　　　　　D. $B^{\prime }$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建立空间向量基底：令 $\overrightarrow{CA}=\vec{a}$， $\overrightarrow{CB}=\vec{b}$， $\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\vec{c}$ 作为空间的一个基底，用这三个基向量表示已知点 $E,F$ 的位置向量。
2. 用基底表示方向向量 $\overrightarrow{EF}$：计算可得 $\overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}(\vec{a}-\vec{b}-\vec{c})$。
3. 逐一检验备选点 $P$：

• 设定 $P$ 点，求出平面 $PEF$ 的另一个方向向量 $\overrightarrow{EP}$。
• 空间中直线的方向向量若能用 $\overrightarrow{EF}$ 和 $\overrightarrow{EP}$ 线性表出，且直线不在平面内，则该直线（棱）与平面平行。
• 检验棱柱的 9 条棱（ $AC,BC,AB,A^{\prime }{C}^{\prime },B^{\prime }{C}^{\prime },A^{\prime }{B}^{\prime },A{A}^{\prime },B{B}^{\prime },C{C}^{\prime }$），清点平行的棱数是否恰好为 2。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

解： 以 $C$ 为空间坐标原点，建立空间向量基底。 令 $\overrightarrow{CA}=\vec{a}$， $\overrightarrow{CB}=\vec{b}$， $\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\vec{c}$。则有： $\overrightarrow{C{A}^{\prime }}=\vec{a}+\vec{c},\overrightarrow{C{B}^{\prime }}=\vec{b}+\vec{c},\overrightarrow{C^{\prime }{A}^{\prime }}=\vec{a},\overrightarrow{C^{\prime }{B}^{\prime }}=\vec{b}$

根据中点公式，各点的位置向量为：

• $E$ 是 $A{C}^{\prime }$ 的中点 $⟹\overrightarrow{CE}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }})=\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{c})$
• $F$ 是 $C{B}^{\prime }$ 的中点 $⟹\overrightarrow{CF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{C{B}^{\prime }}=\frac{1}{2}(\vec{b}+\vec{c})$

从而得到共用方向向量 $\overrightarrow{EF}$： $\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{CF}-\overrightarrow{CE}=\frac{1}{2}(\vec{b}+\vec{c})-\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{c})=\frac{1}{2}(\vec{b}-\vec{a})$ 即 $\overrightarrow{EF}\parallel \overrightarrow{AB}$。 由于 $EF$ 不在平面 $ABC$ 或平面 $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ 内，由线面平行的判定定理可知： 棱 $AB$ 始终平行于平面 $PEF$，棱 $A^{\prime }{B}^{\prime }$ 也始终平行于平面 $PEF$。 这就已经贡献了 2 条平行的棱。要满足题意“恰有 2 条棱与平面平行”，则在剩余的 7 条棱中，绝对不能再出现任何与平面 $PEF$ 平行的棱。

下面逐一检验选项：

• 当 $P=K$ 时（ $K$ 是 $B^{\prime }{C}^{\prime }$ 的中点）： $\overrightarrow{CK}=\overrightarrow{C{C}^{\prime }}+\frac{1}{2}\overrightarrow{C^{\prime }{B}^{\prime }}=\vec{c}+\frac{1}{2}\vec{b}$ $\overrightarrow{EK}=\overrightarrow{CK}-\overrightarrow{CE}=\left(\vec{c}+\frac{1}{2}\vec{b}\right)-\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{c})=\frac{1}{2}\vec{b}-\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{c}$ 此时平面 $KEF$ 的共面向量基底为 $\left\{\frac{1}{2}(\vec{b}-\vec{a}),\frac{1}{2}(\vec{b}-\vec{a}+\vec{c})\right\}$。 容易发现，向量 $\vec{c}=2\overrightarrow{EK}-2\overrightarrow{EF}$ 可被其线性表出。 $\vec{c}$ 是侧棱 $A{A}^{\prime },B{B}^{\prime },C{C}^{\prime }$ 的方向向量，这意味着三条侧棱都与平面 $KEF$ 平行，总平行棱数远超 2 条，不合题意。

• 当 $P=H$ 时（ $H$ 是 $A^{\prime }B$ 的中点）： $\overrightarrow{CH}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{C{A}^{\prime }}+\overrightarrow{CB})=\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{c}+\vec{b})$ $\overrightarrow{EH}=\overrightarrow{CH}-\overrightarrow{CE}=\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})-\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{c})=\frac{1}{2}\vec{b}$ 此时平面 $HEF$ 的基底为 $\left\{\frac{1}{2}(\vec{b}-\vec{a}),\frac{1}{2}\vec{b}\right\}$，它生成的向量平面即为 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 所在的平面（平行于底面 $ABC$）。 显然，底面的棱 $AC(\vec{a}),BC(\vec{b})$ 以及上底面的 $A^{\prime }{C}^{\prime },B^{\prime }{C}^{\prime }$ 的方向向量全部在该共面向量空间内，导致多条棱与平面平行，不合题意。

• 当 $P=B^{\prime }$ 时： $\overrightarrow{E{B}^{\prime }}=\overrightarrow{C{B}^{\prime }}-\overrightarrow{CE}=(\vec{b}+\vec{c})-\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{c})=\vec{b}-\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{c}$ 同理可推出侧面内的多条线与其平行，不合题意。

• 当 $P=G$ 时（ $G$ 为 $△ABC$ 的重心）： $\overrightarrow{CG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB})=\frac{1}{3}(\vec{a}+\vec{b})$ $\overrightarrow{EG}=\overrightarrow{CG}-\overrightarrow{CE}=\frac{1}{3}(\vec{a}+\vec{b})-\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{c})=-\frac{1}{6}\vec{a}+\frac{1}{3}\vec{b}-\frac{1}{2}\vec{c}$ 此时平面 $GEF$ 的基底为 $\overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}(\vec{b}-\vec{a})$ 和 $\overrightarrow{EG}$。 经过检验，除了初始的 $AB$ 和 $A^{\prime }{B}^{\prime }$ 之外，其余 7 条棱（ $AC,BC,A^{\prime }{C}^{\prime },B^{\prime }{C}^{\prime },A{A}^{\prime },B{B}^{\prime },C{C}^{\prime }$）的方向向量均无法用这两个向量线性表出。 因而，此时恰好只有 2 条棱与平面平行，完全符合题意。

故 (C) 选项正确。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：向量共面定理的矩阵表出、空间线面平行的本质（方向向量不能被面内基底线性表出）。
2. 核心方法：基底法简易消元分析。
3. 避坑指南：

• 不要做无谓的纯几何作图推导。本题如果在三棱柱中强行画出每个点对应的交线来数平行棱，极其容易因为视线遮挡或图形失真产生漏看或错看。使用空间向量法，通过 $\overrightarrow{EF}\parallel \overrightarrow{AB}$ 直接锁定 2 条平行棱，转化为要求其余棱的方向向量与面内向量不共面，逻辑最为精准严密。

📖【试题探源与推广】

Tip

变式练习：将向量条件改为模长或夹角已知，用数量积坐标运算反求参数，体会向量代数的通性通法。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 21.01 空间向量及其运算

类题演练 (Links)