2005-湖北卷理-08 单-函数的极限运算

本题导读

本题考查函数在某一点处的极限问题。由于 $x\to 1$ 时分母趋于 0，属于 $\frac{0}{0}$ 型未定式。先通分合并，再根据极限存在的条件使分子含有 $(1-x)$ 的因式从而约去零因子，最后建立方程求解常数 $a,b$ 的值。

📌【题干】

Question

（2005年湖北卷(理)） 8. 若 ${\lim }_{x\to 1}\left(\frac{a}{1-x}-\frac{b}{1-x^2}\right)=1$，则常数 $a,b$ 的值为 ()

A. $a=-2,b=4$　　　　　　　　　　　　　　B. $a=2,b=-4$

C. $a=-2,b=-4$　　　　　　　　　　　　　　D. $a=2,b=4$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 通分合并分式：由于 $1-x^2=(1-x)(1+x)$，将括号内的两项通分，化为以 $1-x^2$ 为公分母的单一分式。
2. 分析零因子确定分子约束：当 $x\to 1$ 时，分母 $1-x^2\to 0$。要使整体极限存在且为确定的实数 1，分子的极限必须也为 0。由此可得到关于 $a,b$ 的第一个线性方程。
3. 因式分解约分求值：将分子中的 $b$ 用 $a$ 代换，提取公因式 $(1-x)$ 与分母约去，消除零因子后再代入 $x=1$ 计算极限值，令其等于 1 解出 $a,b$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

解：

• 第一步：通分化简式子 对括号内的分式进行通分合并： $\frac{a}{1-x}-\frac{b}{1-x^2}=\frac{a(1+x)}{1-x^2}-\frac{b}{1-x^2}=\frac{ax+a-b}{1-x^2}$ 所以原极限式化为： ${\lim }_{x\to 1}\frac{ax+a-b}{1-x^2}=1$

• 第二步：利用极限存在确定分子的条件 当 $x\to 1$ 时，分母 $1-x^2\to 0$。 $\because$ 最终极限值为 1（存在）， $\therefore {\lim }_{x\to 1}(ax+a-b)=0$ 代入 $x=1$ 得： $a\cdot 1+a-b=0⟹2a-b=0⟹b=2a\text{(1)}$

• 第三步：约去零因子并求解常数 将 ① 代入分式中，消去 $b$： ${\lim }_{x\to 1}\frac{ax+a-2a}{1-x^2}={\lim }_{x\to 1}\frac{ax-a}{1-x^2}$ 对分子提取公因式 $a$，分母利用平方差公式展开： ${\lim }_{x\to 1}\frac{-a(1-x)}{(1-x)(1+x)}={\lim }_{x\to 1}\frac{-a}{1+x}$ 约去零因子 $(1-x)$ 后，代入 $x=1$ 计算极限值： $\frac{-a}{1+1}=\frac{-a}{2}$ 已知该极限值等于 1，可得： $\frac{-a}{2}=1⟹a=-2$ 将 $a=-2$ 代入 ① 中解得： $b=2\times (-2)=-4$

综上所述，常数 $a=-2,b=-4$。

故 (C) 选项正确。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：未定式极限 $\frac{0}{0}$ 的化简技巧、分式通分与平方差因式分解。
2. 核心方法：零因子消除法。
3. 避坑指南：

• 不要直接将 $x=1$ 分别代入两项中相减。直接代入会形成 $\frac{a}{0}-\frac{b}{0}$ 的形式，无法进行常规代数运算。必须先通分合并成一个分式再分析。
• 提取负号时注意符号。在第三步中， $ax-a=a(x-1)=-a(1-x)$，由于分母是 $1-x^2=(1-x)(1+x)$，必须将分子转化为包含 $1-x$ 的形式，此处容易漏掉负号而错选 (D)。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为 2005 年湖北卷理科第 8 题，考查 $\frac{0}{0}$ 型未定式极限的化简与求解。
2. 结论推广：求 ${\lim }_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}$（其中 $g(a)=0$）时，若极限存在且为有限值，则必有 $f(a)=0$，可将 $f(x)$、$g(x)$ 同时因式分解约去 $x-a$ 后再求极限。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 21.01 数列的极限

类题演练 (Links)