2005-湖北卷理-07 单-三角函数的零点与方程

本题导读

本题核心考查含有多种三角初等函数的超越方程根的区间定位。通过构造辅助函数，利用零点存在性定理，计算区间端点处的函数值正负号，从而确定角 $\alpha$ 所在的区间范围。

📌【题干】

Question

（2005年湖北卷(理)） 7. 若 $\sin \alpha +\cos \alpha =\tan \alpha \left(0<\alpha <\frac{\pi }{2}\right)$，则 $\alpha \in$ ()

A. $\left(0,\frac{\pi }{6}\right)$　　　　B. $\left(\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{4}\right)$　　　　C. $\left(\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{3}\right)$　　　　D. $\left(\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{2}\right)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 构造辅助函数：令 $f(\alpha )=\sin \alpha +\cos \alpha -\tan \alpha$，则原方程的根即为函数 $f(\alpha )$ 的零点。
2. 利用零点存在性定理估值：依次计算各个选项边界点 $\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{3}$ 处的函数值，寻找函数值正负号发生改变的相邻两点构成的区间。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

解：

• 第一步：构造辅助函数 令 $f(\alpha )=\sin \alpha +\cos \alpha -\tan \alpha$，其中 $\alpha \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$。

• 第二步：计算关键边界点的函数值

• 当 $\alpha =\frac{\pi }{6}$ 时： $f\left(\frac{\pi }{6}\right)=\sin \frac{\pi }{6}+\cos \frac{\pi }{6}-\tan \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{6}>0$

• 当 $\alpha =\frac{\pi }{4}$ 时： $f\left(\frac{\pi }{4}\right)=\sin \frac{\pi }{4}+\cos \frac{\pi }{4}-\tan \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}-1=\sqrt{2}-1>0$

• 当 $\alpha =\frac{\pi }{3}$ 时： $f\left(\frac{\pi }{3}\right)=\sin \frac{\pi }{3}+\cos \frac{\pi }{3}-\tan \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}-\sqrt{3}=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1-\sqrt{3}}{2}<0$

• 第三步：由零点存在性定理得出结论 $\because f\left(\frac{\pi }{4}\right)>0$ 且 $f\left(\frac{\pi }{3}\right)<0$，并且函数 $f(\alpha )$ 在 $\left[\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{3}\right]$ 上是连续函数， $\therefore f(\alpha )\text{ 在区间 }\left(\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{3}\right)\text{ 内必存在零点。}$ 即满足 $\sin \alpha +\cos \alpha =\tan \alpha$ 的 $\alpha \in \left(\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{3}\right)$。

故 (C) 选项正确。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：连续函数零点两侧异号的性质、特殊锐角三角函数值的准确记忆。
2. 核心方法：零点定位法（端点正负符号试探法）。
3. 避坑指南：

• 不要尝试通过两边平方去强行求解精确解。此类题目属于超越方程，很难直接通过代数公式解出 $\alpha$ 的具体数值，盲目化简反而会使方程次数变高（如化为关于正切的高次方程），耗费大量时间。利用零点定理估算取值范围是选择题的最高效解法。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源自 2005 年湖北高考数学（理）第 7 题，主要考查新课标中倡导的用函数观点审视方程根的思想（即方程的根对应函数的零点）。
2. 结论推广: 对于任何形式为 $g(x)=h(x)$ 的超越方程求根范围问题，均可统一构造成 $f(x)=g(x)-h(x)=0$ 的函数模型。若在已知区间端点 $(a,b)$ 上满足 $f(a)\cdot f(b)<0$，则方程在该开区间内至少存在一个实根。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式
• 20.16 零点问题

类题演练 (Links)