2005-湖北卷理-05 单-抛物线的标准方程与焦点坐标

本题导读

本题核心考查抛物线与双曲线的几何性质及基本量的计算。通过抛物线标准方程求出其焦点坐标，进而确定双曲线的焦半距 $c$。再结合双曲线的离心率公式及 $c^2=a^2+b^2$ 的几何关系，解出分母参数 $m$ 和 $n$，最后求出两者的乘积。

📌【题干】

Question

（2005年湖北卷(理)） 5. 双曲线 $\frac{x^2}{m}-\frac{y^2}{n}=1$ ($mn\ne 0$) 离心率为 2，有一个焦点与抛物线 $y^2=4x$ 的焦点重合，则 $mn$ 的值为 ()

A. $\frac{3}{16}$　　　　　　B. $\frac{3}{8}$　　　　　　C. $\frac{16}{3}$　　　　　　D. $\frac{8}{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求抛物线的焦点：由抛物线 $y^2=4x$ 得到 $2p=4⟹p=2$，确定其焦点坐标。
2. 确定双曲线的焦点位置与 $c$：双曲线的一焦点与抛物线焦点重合，由此可知双曲线焦点在 $x$ 轴上，且 $m>0$，焦半距 $c$ 的值直接确定。
3. 利用离心率求 $a$：根据双曲线离心率 $e=\frac{c}{a}=2$，结合已知 $c$ 的值，求出实半轴长 $a$，进而得到 $m=a^2$。
4. 利用几何关系求 $b^2$：通过双曲线基本关系式 $c^2=a^2+b^2$ 计算出 $b^2$，得到 $n=b^2$，最后计算 $mn$。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

解：

• 第一步：计算抛物线的焦点坐标 已知抛物线标准方程为 $y^2=4x$，其开口向右，焦点在 $x$ 轴正半轴上。 由 $2p=4⟹\frac{p}{2}=1$， 所以抛物线的焦点坐标为 $F(1,0)$。

• 第二步：确定双曲线的基本量 $c$、 $a$ 和 $m$ $\because$ 双曲线 $\frac{x^2}{m}-\frac{y^2}{n}=1$ 的一个焦点与抛物线焦点 $F(1,0)$ 重合， $\therefore$ 该双曲线的焦点在 $x$ 轴上，且焦半距为： $c=1⟹c^2=1$ 同时可得分母参数 $m=a^2>0$， $n=b^2>0$。

$\because$ 双曲线的离心率 $e=2$，由公式 $e=\frac{c}{a}$ 可得： $\frac{1}{a}=2⟹a=\frac{1}{2}$ $\therefore m=a^2={\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$

• 第三步：结合几何关系求出 $n$ 及 $mn$ 的值 在焦点在 $x$ 轴上的双曲线中，基本量满足 $c^2=a^2+b^2$，即 $c^2=m+n$。 将 $c^2=1$ 和 $m=\frac{1}{4}$ 代入上式中： $1=\frac{1}{4}+n⟹n=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$

最后计算 $mn$ 的乘积值： $mn=\frac{1}{4}\times \frac{3}{4}=\frac{3}{16}$

故 (A) 选项正确。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抛物线焦点坐标公式（ $\left(\frac{p}{2},0\right)$ ）、双曲线中 $c^2=a^2+b^2$ 的代数关系。
2. 核心方法：基本量互化代入法。
3. 避坑指南：

• 切勿混淆抛物线的焦点公式。误把 $y^2=4x$ 的焦点算成 $(2,0)$ 或 $\left(\frac{1}{4},0\right)$ 是圆锥曲线中极易发生的低级错误。
• 注意双曲线中 $a,b,c$ 数量关系与椭圆的区别。双曲线中斜边对应的是 $c$，即 $c^2=a^2+b^2$，若误套用椭圆公式 $a^2=b^2+c^2$ 会导致 $n$ 算成负数或错误数值。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源自 2005 年湖北高考数学（理）第 5 题，是圆锥曲线章节两类不同曲线（双曲线与抛物线）共焦点性质交叉融合的经典小综合题，考查基础扎实度。
2. 结论推广: 若双曲线 $\frac{x^2}{m}-\frac{y^2}{n}=1$ 的焦点与抛物线 $y^2=2px$ ($p>0$) 的焦点重合，则有 $c=\frac{p}{2}$。若已知离心率为 $e$，则可直接推导得出参数通式： $m=\frac{p^2}{4e^2}$， $n=\frac{p^2(e^2-1)}{4e^2}$，从而积 $mn=\frac{p^4(e^2-1)}{16e^4}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 18.02 双曲线专题全总结
• 18.06 离心率专题

类题演练 (Links)