2005-湖北卷文-10 单-三角方程解的区间定位

本题导读

本题考查三角方程解所在的区间，以及构造函数用单调性定位零点。

📌【题干】

Question

（2005年湖北卷(文)） 若 $\sin \alpha +\cos \alpha =\tan \alpha$（$0<\alpha <\frac{\pi }{2}$），则 $\alpha \in$()

A. $\left(0,\frac{\pi }{6}\right)$　　　　　B. $\left(\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{4}\right)$　　　　　C. $\left(\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{3}\right)$　　　　　D. $\left(\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{2}\right)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $0<\alpha ⩽\frac{\pi }{4}$ 时 $\tan \alpha ⩽1<\sin \alpha +\cos \alpha$，无解。
2. 构造 $g(\alpha )=\tan \alpha -\sin \alpha -\cos \alpha$，$g^{\prime }(\alpha )>0$ 恒成立。
3. $g\left(\frac{\pi }{3}\right)>0$，零点唯一落在 $\left(\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{3}\right)$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

令 $g(\alpha )=\tan \alpha -\sin \alpha -\cos \alpha$．当 $0<\alpha ⩽\frac{\pi }{4}$ 时，$\tan \alpha ⩽1<\sin \alpha +\cos \alpha$，故方程的解不在此区间内．又 $g\left(\frac{\pi }{3}\right)=\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}>0$．在 $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$ 上，$g^{\prime }(\alpha )={\sec }^2\alpha -\cos \alpha +\sin \alpha >1-\cos \alpha +\sin \alpha >0$，所以 $g$ 严格递增，且其零点唯一，并且位于 $\left(\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{3}\right)$ 内，选 C．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角方程解的区间定位

核心方法：构造 $g(\alpha )=\tan \alpha -\sin \alpha -\cos \alpha$，单调 + 端点定零点区间

避坑指南：$\alpha ⩽\frac{\pi }{4}$ 时 $\tan \alpha ⩽1<\sin \alpha +\cos \alpha$ 无解；$g^{\prime }(\alpha )>0$ 恒成立保证零点唯一

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版必修 4 三角函数

结论推广：$g(\alpha )=\tan \alpha -\sin \alpha -\cos \alpha$ 严格递增，$g\left(\frac{\pi }{4}\right)<0<g\left(\frac{\pi }{3}\right)$

方法推广：方程解的区间定位：构造差函数，用单调性 + 两端点异号夹逼

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2016-全国卷II文-10 单-对数
• 1997-全国卷理-10 单-余弦的二次函数最值
• 1986-全国理-10 单-反三角函数的恒等式